对角矩阵

引言

对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他所有元素都为零的矩阵。矩阵应用于现实生活中的事件，例如军事阅兵、学校阅兵和种植。矩阵和行列式的概念被记录为出现在公元前四世纪，尽管其使用被认为仅始于公元前二世纪。然后，在十七世纪末，矩阵和行列式的概念重新使用。日常世界问题的数学模型被构成 为一组线性方程。矩阵对于解决这些问题是必不可少的。

矩阵

矩阵是用括号[ ]括起来的，按列和行排列的元素的矩形表示。

  • 通常，矩阵的元素可以是实数、复数、单变量函数（即多项式函数、三角函数及其组合）和多变量函数。

  • 具有m行和n列的矩阵A可以写成

    • A=[aij]m×n,1≤i≤m,1≤j≤n,即

    A=[aij]m×n

  • 矩阵的阶或维数定义为m×n。即，m和n是矩阵中存在的行和列。

  • 行定义为矩阵中的水平元素。列定义为矩阵中的垂直元素。

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矩阵的类型

行矩阵和列矩阵

  • A=[A]1×4=[101.1√2]是一个阶数为1×4的行矩阵。因为这个矩阵的行总数为一。

  • 如果A=[A]1×4=[xx+z3x4]，则称为列矩阵。因为此矩阵的列总数为一。

零矩阵和非零矩阵

  • 如果矩阵A=[aij]m×n中所有1≤i≤m和1≤j≤n的值都满足𝑎𝑖𝑗 = 0，则称为零矩阵，记作O。

  • 如果矩阵A中的一个元素非零，则该矩阵称为非零矩阵。

方阵

  • 行数和列数相同的矩阵称为方阵。也就是说，当一个n×n阶方阵时，方阵的阶数为n。例如

A=[abcdcfghi]

三角矩阵

  • **上三角矩阵** - 方阵中主对角线以下的元素为零的矩阵。

  • 因此，在方阵B=[bij]m×n,如果bij=0,j<i.中，则该矩阵称为上三角矩阵。

B=[157018002]

  • **下三角矩阵** - 方阵中主对角线以上的元素为零的矩阵。

  • 因此，在方阵A=[aij]m×n,如果aij=0,i<j.中，

B=[200760339]

对角矩阵

  • n阶方阵A=[aij]m×n的元素a11,a22,a33.............,ann称为**主对角线元素**。

  • 除了主对角线元素外，其他元素都为零的矩阵称为对角矩阵。

  • 对于所有bij=0,i≠j的方阵B=[bij]m×n称为对角矩阵。因此，在对角矩阵中，除了主对角线元素外，每个元素都为零。

对角矩阵的类型

数量矩阵

  • 它定义为对角矩阵中每个主对角线元素都相同。

    • 在方阵A=[aij]m×n中，如果aij=c;i=j且aij=0;i≠j，则A为数量矩阵。这里c是一个常数。

A=[200020002]

单位矩阵

  • 单位矩阵 - 如果对角矩阵的每个元素都为零，除了主对角线元素为1。

    • 在方阵A=[aij]m×n中，如果aij=1;i=j 且aij=0;i≠j，则矩阵A为单位矩阵。

I=[100010001]

对角矩阵的性质

对角矩阵的加法和乘法非常简单。如果对角矩阵的主对角线元素（从左上角开始）为𝑎1，……，𝑎𝑛，则可以通过将矩阵写成diag(𝑎1，……，𝑎𝑛)来执行矩阵运算。两个对角矩阵的加法和乘法为

A=[a00b]B=[c00d]

A+B=[a+c00b+d]

AB=[ac00bd]

  • **对角矩阵的转置**适用于每个主对角线元素都不为零的情况。

对角矩阵的应用

  • 对角矩阵广泛应用于**线性代数**中。

  • **线性映射**由对角矩阵表示。希望表示线性映射。

  • 根据谱定理，对角矩阵与正规矩阵相似。

解题示例

1) 求矩阵X的值？

AX=B

A=[7000120008]X=[xyz]B=[281216]

答案

[7000120008][xyz]=[281216]

AX=[7x+0+00+12y+00+0+8z]

AX=[7x12y8z]

AX=B，因此

7x=28

12y=12

8z=16

x=4,y=1,z=2

X=[412]

2) 证明矩阵A乘以单位矩阵将得到相同的矩阵？

A=[12876113−3−18]

答案

A=[12876113−3−18]I=[100010001]

AI=[12876113−3−18][100010001]

AI=[12876113−3−18]

因此，任何矩阵乘以单位矩阵都将得到相同的矩阵。

结论

矩阵应用于现实生活中的事件，例如军事阅兵、学校阅兵和种植。矩阵是用括号括起来的，按列和行排列的元素的矩形表示。如果矩阵A中的一个元素非零，则该矩阵称为非零矩阵。对角矩阵的加法和乘法非常简单。除了主对角线元素外，其他元素都为零的矩阵称为对角矩阵。对角矩阵的转置适用于每个主对角线元素都不为零的情况。对角矩阵广泛应用于线性代数中。线性映射由对角矩阵表示。希望表示线性映射。根据谱定理，对角矩阵与正规矩阵相似。

常见问题解答

1. 什么是正规矩阵？

  • 如果一个方阵与其共轭转置矩阵的乘法是**可交换**的，则该矩阵称为**正规矩阵**。

  • 实数元素的方阵，其共轭转置矩阵与其自身相同，因为每个元素的实数部分就是其自身。因此，所有实数元素的方阵都是正规矩阵。

2. 定义共轭转置矩阵？

复数元素矩阵的共轭转置矩阵是通过首先转置该矩阵，然后将转置矩阵的每个元素替换为其共轭复数而得到的。

3. 矩阵的秩是什么？

  • 矩阵的子矩阵和子式是定义矩阵秩所必需的。

  • 矩阵𝐵的秩是其非零子式行列式的最高阶数。

  • 矩阵𝐵的秩记作⍴(𝐵)。零矩阵的秩为零。如果矩阵中至少存在一个非零元素，则p(B)≥1。

4. 矩阵的应用有哪些？

  • 矩阵用于表示线性方程组的值。

  • 矩阵编码及其函数用于在各个领域生成计算机电子表格，例如业务相关的预算编制、销售计划的定价以及分析科学实验的结果。

5. 解释矩阵的转置

通过转置矩阵𝐴的列和行而得到的矩阵称为𝐴的转置矩阵。它将标记为𝐴𝑇。也就是说，如果A=[aij]m×n，则AT=[aij]n×m。

更新于：2024年4月17日

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