矩阵类型

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简介

矩阵是由若干个对象按矩形排列组成的。 “矩阵”一词是矩阵的复数形式，通常不用于指代单个矩阵。矩阵有很多类型，主要根据元素值、阶数、行数和列数等进行分类。在本教程中，我们将讨论矩阵的类型。

什么是矩阵？

矩阵是将数字、变量、符号或表达式以矩形表格形式排列，其中包含不同数量的行和列。这些是矩形数组，定义了各种运算，例如加法、乘法和转置。矩阵中的数字或条目称为其元素。

如果矩阵有 m 行和 n 列，则有 m × n 个元素。矩阵用大写字母表示（在本例中为“A”），矩阵中的元素用小写字母和两个下标表示，这两个下标按相同的顺序和相同的顺序表示元素的位置。例如，'𝑎𝑖𝑗'，其中 i 是行数，j 是列数。

矩阵有哪些不同的类型？

矩阵有很多类型，主要根据元素值、阶数、行数和列数等进行分类。线性代数中存在不同类型的矩阵。所有类型的矩阵都是根据其元素、阶数和特定条件来区分的。特殊的矩阵类型有方阵、对角矩阵、单位矩阵、转置矩阵和对称矩阵。这是一个具有相同行数和列数的方阵。目前，使用不同的术语，不同类型的矩阵如下分类，以及它们的定义和示例。

什么是零矩阵？

如果矩阵中所有指定元素都为 0，则该矩阵称为零矩阵，通常用零表示。

因此，如果对于所有 i 和 j，$\mathrm{a_{ij}\:=\:0}$，则 A = [aij] m × n 是一个零矩阵。

$$\mathrm{A\:=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}}$$

什么是三角矩阵？

它是一个矩形矩阵，其所有 0 因子位于对角线下方和/或上方。三角矩阵主要有两种类型

所有元素都位于主对角线以上为 0 的方阵称为下三角矩阵。

所有元素都位于主对角线以下为 0 的矩形矩阵称为上三角矩阵。

例如，

$$\mathrm{A\:=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 5\\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}}$$

上述矩阵是上三角矩阵的一个例子。

例如，

$$\mathrm{B\:=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$$

上述矩阵是下三角矩阵的一个例子

什么是列矩阵？

列矩阵是行数多于列数的矩阵。

例如，

$$\mathrm{C\:=\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 6 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}}$$

在这个例子中，行数为 3，列数为 2。因此它是一个列矩阵

什么是行矩阵？

行矩阵是行数少于列数的矩阵。

例如

$$\mathrm{D\:=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6\\ \end{bmatrix}}$$

在这个例子中，行数为 2，列数为 3。因此它是一个行矩阵。

什么是行向量？

行向量只包含一行。

例如，

$$\mathrm{R\:=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}}$$

由于上述矩阵中只有一行，因此称为行向量

什么是列向量？

列向量只有一列，因为只有一列，所以列向量的阶数始终为 mx1

例如，

由于上述矩阵中只有一列，因此称为列向量

$$\mathrm{T\:=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}}$$

什么是对角矩阵？

在线性代数中，对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，所有元素都为零的矩阵。此术语通常指方阵。主对角线上的元素可以为零或非零。

例如，

$$\mathrm{A\:=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}}$$

什么是对称矩阵？

如果矩阵等于其转置，则该矩阵称为对称矩阵。

$$\mathrm{M^{T}\:=\:M}$$

例如，

$$\mathrm{M\:=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5\\ 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}}$$

什么是反对称矩阵？

如果矩阵等于其转置的负值，则该矩阵称为反对称矩阵。

$$\mathrm{M^{T}\:=\:-M}$$

例如，

$$\mathrm{M\:=\begin{bmatrix} 0 & 2 & 4 \\ -2 & 0 & 3\\ -4 & -3 & 2 \end{bmatrix}}$$

什么是单位矩阵？

如果矩阵的所有对角元素都为 1，其余元素都为零，则该矩阵称为单位矩阵

例如，

$$\mathrm{M\:=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

由于所有对角元素都为 1，其余元素都为零，因此它是单位矩阵。

解答题

1)识别以下矩阵。

$$\mathrm{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}}$$

答案 - 因为只有对角线上的元素非零，所以它是一个对角矩阵。

2)识别以下矩阵。

$$\mathrm{\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}}$$

答案 - 因为以上矩阵只有一列，所以它被称为列向量

3)识别以下矩阵

$$\mathrm{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

答案 - 因为所有对角元素都为 1，其余元素都为零，所以它是单位矩阵。

4)识别以下矩阵的类型。

$$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} 1 & 5 & 2 \\ \end{bmatrix}}\:and\:B\:=\:\begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ \end{bmatrix}$$

答案 - 因为在这两种情况下，矩阵 A 和 B 都只有一行和三列，所以给定的矩阵都是行向量。

结论

矩阵通常是由数字或符号组成的矩形数组，按行和列排列。线性代数中存在许多类型的矩阵。所有类型的矩阵都是根据其元素、阶数和特定条件来区分的。零矩阵、三角矩阵、列矩阵、行矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和单位矩阵

常见问题

1. 矩阵有哪些不同的类型？

零矩阵、三角矩阵、列矩阵、行矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和单位矩阵

2. 单位矩阵是什么意思，请举一个例子？

对角元素为 1，其余元素为零，因此它是单位矩阵。例如

$$\mathrm{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

3. 行向量是什么意思？

只有一行的矩阵称为行向量。因为只有一行，所以该矩阵的阶数始终为 1xn

例如，

$$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix} 1 & 5 & 2 \\ \end{bmatrix}}$$

4. 对称矩阵和反对称矩阵有什么区别？

如果 $\mathrm{M^{T}\:=\:M}$，则该矩阵称为对称矩阵

如果 $\mathrm{M^{T}\:=\:-M}$，则该矩阵称为反对称矩阵

5. 上三角矩阵和下三角矩阵有什么区别？

它是一个矩形矩阵，其所有 0 因子位于对角线下方和/或上方。三角矩阵主要有两种类型。

所有主对角线以上元素均为 0 的方阵称为下三角矩阵。

所有主对角线以下元素均为 0 的矩形矩阵称为上三角矩阵。