DSatur 算法用于图着色

简介

图着色可能是图论中的一个重要问题。DSatur 算法提供了一种有效的方法来减少在执行图着色时的颜色使用。通过有策略地选择饱和度最高的顶点，DSatur 确保了优化的颜色分配，最大化颜色多样性并最小化颜色使用。

在本文中，我们探讨了用于图着色的 DSatur 算法及其在 C++ 中的应用。该算法的名字源于它使用的两个关键概念：度数和饱和度。它考虑了顶点的度数及其饱和度，后者表示其邻居使用的不同颜色的数量。

DSatur 算法用于图着色

DSatur 算法是一种图着色策略，用于图论，在计算机科学和优化中具有重要应用。它围绕着将颜色分配给图的顶点的任务，确保没有两个相邻的顶点共享相同的颜色。通过使用巧妙的策略，DSatur 旨在减少成功着色图所需的总颜色数。在每个步骤中，算法选择具有最高饱和度（即，到目前为止已着色的相邻顶点的数量）的顶点，并将其分配给其邻居尚未使用的颜色。这种方法导致优化的着色，最大化颜色多样性，并最小化颜色使用。DSatur 算法为图着色问题提供了一种高效且实用的解决方案，使其成为不同计算机科学和优化领域中的基本工具。

该算法首先选择度数最高的顶点作为起始顶点，并将其分配给第一种颜色。然后迭代地选择未着色顶点中饱和度最高的顶点。如果出现平局，则选择度数最高的顶点。

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方法 1：使用邻接表

在这种方法中，图使用邻接表表示。该算法将起始颜色分配给第一个顶点，并通过计算其相邻顶点使用的不同颜色来计算每个顶点的饱和度。然后，它继续迭代地对其余顶点进行着色，选择饱和度最高的顶点并分配最小的可用颜色。

算法

  • 步骤 1 − 创建一个邻接表来表示图，其中列表的每个元素表示一个顶点并存储其相邻顶点。

  • 步骤 2 − 实现 DSaturGraphColoring 函数。

  • 步骤 3 − 初始化三个向量 − colors 用于存储每个顶点的分配颜色，saturation 用于存储每个顶点的饱和度，以及 available 用于跟踪可用颜色。最初，所有颜色都设置为 -1，饱和度设置为 0，并且所有颜色都可用。

  • 步骤 4 − 将起始颜色（0）分配给第一个顶点，并在 colors 向量中将其标记为已着色。

  • 步骤 5 − 通过遍历邻接表并检查其相邻顶点使用的不同颜色来计算每个顶点的饱和度。将饱和度存储在 saturation 向量中。

  • 步骤 6 − 从 colors 向量中打印顶点-颜色对。

示例

Open Compiler
#include <iostream>
#include <list>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

class MyNewGraph {
   int numVertices;
   list<int> *adjList;

   public:
      MyNewGraph(int vertices) {
         numVertices = vertices;
         adjList = new list<int>[vertices];
      }

      void addMyEdge(int vertexA, int vertexB) {
         adjList[vertexA].push_back(vertexB);
         adjList[vertexB].push_back(vertexA);
      }

   void performMyDSaturGraphColoring();
};

void MyNewGraph::performMyDSaturGraphColoring() {
   vector<int> vertexColors(numVertices, -1);
   vector<int> saturationDegree(numVertices, 0);
   vector<bool> colorAvailability(numVertices, true);

   vertexColors[0] = 0;

   for (int myIndex = 1; myIndex < numVertices; myIndex++) {
      for (int myVertex : adjList[myIndex]) {
         if (vertexColors[myVertex] != -1)
            saturationDegree[myIndex]++;
      }
   }

   for (int k = 1; k < numVertices; k++) {
      int myMaxSaturation = -1;
      int myVertex = -1;

      for (int myIndex = 0; myIndex < numVertices; myIndex++) {
         if (vertexColors[myIndex] == -1 && saturationDegree[myIndex] > myMaxSaturation) {
            myMaxSaturation = saturationDegree[myIndex];
            myVertex = myIndex;
         }
      }

      int availableColor = 0;
      while (!colorAvailability[availableColor]) {
         availableColor++;
      }
      
      vertexColors[myVertex] = availableColor;
      colorAvailability[availableColor] = false;

      for (int myVertex : adjList[myVertex]) {
         saturationDegree[myVertex]++;
      }
   }

   cout << "MyVertex\tMyColor" << endl;
   for (int myIndex = 0; myIndex < numVertices; myIndex++) {
      cout << myIndex << "\t" << vertexColors[myIndex] << endl;
   }
}
int main() {
   MyNewGraph myNewGraph(4);
   myNewGraph.addMyEdge(0, 1);
   myNewGraph.addMyEdge(0, 2);
   myNewGraph.addMyEdge(0, 3);
   myNewGraph.addMyEdge(2, 3);

   myNewGraph.performMyDSaturGraphColoring();

   return 0;
}

输出

MyVertex	MyColor
0	0
1	0
2	1
3	2

方法 2：使用矩阵表示

在这种方法中，图使用矩阵表示。该算法将起始颜色分配给第一个顶点，并通过检查其相邻顶点使用的不同颜色来计算每个顶点的饱和度。然后，它迭代地对其余顶点进行着色，选择饱和度最高的顶点并分配最小的可用颜色。

算法

  • 步骤 1 − 创建一个矩阵来表示图，其中每个单元格表示两个顶点之间的边。

  • 步骤 2 − 实现 DSatur 图着色函数。

  • 步骤 3 − 初始化三个向量 − colors 用于存储每个顶点的分配颜色，saturation 用于存储每个顶点的饱和度，以及 available 用于跟踪可用颜色。最初，所有颜色都设置为 -1，饱和度设置为 0，并且所有颜色都可用。

  • 步骤 4 − 将起始颜色（0）分配给第一个顶点，并在 colors 向量中将其标记为已着色。

  • 步骤 5 − 通过迭代矩阵来计算每个顶点的饱和度，并

示例

Open Compiler
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

class MyNewGraph {
   int myNumVertices;
   vector<vector<int>> myAdjacencyMatrix;

   public:
      MyNewGraph(int vertices) {
         myNumVertices = vertices;
         myAdjacencyMatrix.resize(vertices, vector<int>(vertices, 0));
      }

      void addMyEdge(int myVertex1, int myVertex2) {
         myAdjacencyMatrix[myVertex1][myVertex2] = 1;
         myAdjacencyMatrix[myVertex2][myVertex1] = 1;
      }

   void performMyDSaturGraphColoring();
};

void MyNewGraph::performMyDSaturGraphColoring() {
   vector<int> myVertexColors(myNumVertices, -1);
   vector<int> mySaturationDegree(myNumVertices, 0);
   vector<bool> myColorAvailability(myNumVertices, true);

   myVertexColors[0] = 0;

   for (int myIndex = 1; myIndex < myNumVertices; myIndex++) {
      for (int myVertex : myAdjacencyMatrix[myIndex]) {
         if (myVertexColors[myVertex] != -1)
            mySaturationDegree[myIndex]++;
      }
   }

   for (int k = 1; k < myNumVertices; k++) {
      int myMaxSaturation = -1;
      int myVertex = -1;

      for (int myIndex = 0; myIndex < myNumVertices; myIndex++) {
         if (myVertexColors[myIndex] == -1 && mySaturationDegree[myIndex] > myMaxSaturation) {
            myMaxSaturation = mySaturationDegree[myIndex];
            myVertex = myIndex;
         }
      }

      int myAvailableColor = 0;
      while (!myColorAvailability[myAvailableColor]) {
         myAvailableColor++;
      }

      myVertexColors[myVertex] = myAvailableColor;
      myColorAvailability[myAvailableColor] = false;

      for (int myIndex = 0; myIndex < myNumVertices; myIndex++) {
         if (myAdjacencyMatrix[myVertex][myIndex]) {
            mySaturationDegree[myIndex]++;
         }
      }
   }

   cout << "MyVertex\tMyColor" << endl;
   for (int myIndex = 0; myIndex < myNumVertices; myIndex++) {
      cout << myIndex << "\t" << myVertexColors[myIndex] << endl;
   }
}
int main() {
   MyNewGraph myNewGraph(4);
   myNewGraph.addMyEdge(0, 1);
   myNewGraph.addMyEdge(0, 2);
   myNewGraph.addMyEdge(0, 3);
   myNewGraph.addMyEdge(2, 3);

   myNewGraph.performMyDSaturGraphColoring();

   return 0;
}

输出

MyVertex	MyColor
0	0
1	0
2	1
3	2

结论

DSatur 算法为图着色提供了一种有效且强大的策略，考虑了顶点的度数和饱和度水平。通过智能地将颜色分配给图的顶点，它旨在减少使用的颜色数量。通过本文，我们探讨了 DSatur 算法，并提供了其三种方法的分步说明。我们使用 C++ 中的邻接列表表示法实现了方法 1，确保了一致的着色结果。程序代码说明了 DSatur 算法在各种图着色场景中的实际应用，展示了它产生最优着色解决方案的能力。总的来说，DSatur 算法是图论中一个重要的工具，有助于优化颜色分配，同时减少颜色使用。

更新于: 2023-08-25

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