一维和二维弹性碰撞与非弹性碰撞

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介绍

在我们的日常生活中，我们经历了各种各样的碰撞。例如，在板球运动中，球与球棒发生碰撞。碰撞前，球和球棒的方向彼此相对，碰撞后，球的能量、速度和方向都会发生变化。在碰撞过程中，粒子之间的相互作用时间很短，但作用力相对较大。碰撞可以是弹性的，也可以是非弹性的。

什么是弹性碰撞？

在弹性碰撞过程中，发生碰撞的物体的动能或线性动量保持不变，或者简单地说，动能是守恒的，这意味着没有动能损失。粒子的碰撞是弹性的。

什么是非弹性碰撞？

在非弹性碰撞过程中，系统的动能会损失，这意味着能量不守恒，粒子会粘在一起然后一起运动。动量保持守恒。初始动能总是大于最终动能。

碰撞类型

主要有两种类型的碰撞：一种是弹性碰撞，另一种是非弹性碰撞。在第一种情况下，动能保持不变，而在第二种情况下，动能不守恒。

线性动量守恒定律

我们知道，动量被测量为物体的质量和速度的乘积。现在，根据线性动量守恒定律，如果一个物体与另一个物体发生碰撞，则碰撞前物体的总动量等于或等于碰撞后物体的总动量。

设碰撞前的初始速度为 $\mathrm{u_1}$ 和 $\mathrm{u_2}$。碰撞后的最终速度为 $\mathrm{v_{1}}$ 和 $\mathrm{v_{2}}$。质量是恒定的，因此碰撞后质量保持不变。力有大小相等、方向相反的反作用力。

$$\mathrm{F_1=-F_2}$$

$$\mathrm{m_1 a_1=-m_2 a_2}$$

$$\mathrm{m_1\frac{(v_{1}-u_{1})}{t}=-m_2\frac{(v_{2}-u_{2})}{t}}$$

时间t被消去了

$$\mathrm{m_1 v_{1}-m_1 u_1=-m_2 v_{2}+m_2 u_2}$$

$$\mathrm{m_1 v_{1}-m_1 u_1=m_2 u_{2}-m_2 v_2}$$

$$\mathrm{m_1 v_{1}+m_2 v_2=m_2 u_{2}+m_1 u_1}$$

或者 $$\mathrm{m_1 u_{1}+m_2 u_2=m_1 v_{1}+m_2 v_2}$$

因此，碰撞前的总动量等于或等于碰撞后的总动量。

一维弹性碰撞

图：1 一维弹性碰撞

假设两个物体或物体的质量分别为 $\mathrm{m_1}$ 和 $\mathrm{m_2}$，它们以直线或匀速运动，初始速度分别为 $\mathrm{u_{1}}$ 和 $\mathrm{u_{2}}$（$\mathrm{u_{1}}$ 大于 $\mathrm{u_{2}}$），碰撞后物体的速度变为 $\mathrm{v_1}$ 和 $\mathrm{v_2}$（$\mathrm{v_2}$ 大于 $\mathrm{v_1}$）

根据动量守恒定律，

$$\mathrm{m_1 u_{1}+m_2 u_2=m_1 v_{1}+m_2 v_2}$$

$$\mathrm{m_1 u_{1}-m_1 v_1=m_2 v_{2}-m_2 u_2}$$

$$\mathrm{m_1(u_{1}-v_1)=m_2 (v_2-u_2) \:\:\: ….(1)}$$

根据能量守恒定律，动能守恒

$$\mathrm{\frac{1}{2}m_1u_1^{2}+\frac{1}{2}m_1u_2^{2}=\frac{1}{2}m_2v_1^{2}+\frac{1}{2}m_2v_2^{2}}$$

$$\mathrm{\frac{1}{2}m_1u_1^{2}-\frac{1}{2}m_1v_1^{2}=\frac{1}{2}m_2v_2^{2}-\frac{1}{2}m_2u_2^{2}}$$

$$\mathrm{\frac{1}{2}m_1(u_1^{2}-v_1^{2})=\frac{1}{2}m_2(v_2^{2}-u_2^{2})}$$

$$\mathrm{m_1(u_1^{2}-v_1^{2})=m_2(v_2^{2}-u_2^{2})\:\:\:\:….(2)}$$

将公式 (2) 除以 (1)

$$\mathrm{\frac{m_1(u_1^{2}-v_1^{2})}{m_1(u_1-v_1)}=\frac{m_2(v_2^{2}-u_2^{2})}{m_2(v_2-u_2)}}$$

$$\mathrm{\frac{(u_1 +v_1 )((u_(1 )-v_1)}{(u_(1 )-v_1)}=\frac{(v_2 -u_2 )(v_2+u_2)}{(v_2-u_2)}}$$

(因为相同的值被消去了)

$$\mathrm{(u_1+v_1)=(v_2+u_2)}$$

$$\mathrm{(u_1 -u_2)=(v_2-v_1)}$$

因此，碰撞前的相对速度 $\mathrm{(u_1-u_2)}$ 等于碰撞后的相对速度 $\mathrm{(v_2-v_1)}$。

二维弹性碰撞

根据能量守恒定律，

碰撞前的总动能(KE)总是等于或等于碰撞后的总动能(KE)。

$$\mathrm{\frac{1}{2}m_1u_1^{2}+\frac{1}{2}m_1u_2^{2}=\frac{1}{2}m_2v_1^{2}+\frac{1}{2}m_2v_2^{2}}$$

(1/2 将被消去，所以我们有)

$$\mathrm{m_1 u_1^{2}+m_1 u_2^{2}=m_2 v_1^{2}+m_2 v_2^{2}}$$

由于线性动量是恒定的，

碰撞前的总线性动量与碰撞后的总线性动量相同。对于水平分量

$$\mathrm{m_1 u_{1}+m_2 u_2=m_1 v_{1}\:cos \theta +m_2 v_2\:cos \theta}$$

对于垂直分量

$$\mathrm{0=m_1 v_{1} sin \theta +m_2 v_2 sin \theta}$$

四个未知量，即 $\mathrm{m_1,m_2,v_1,u_2,\theta}$，通过测量四个未知量中的一个，可以求解其他三个未知量的值。

一维非弹性碰撞

在非弹性碰撞中，物体粘在一起并以相同的速度沿相同的方向运动。动量守恒，但动能可能发生变化并转变为不同类型的能量。由于物体粘在一起，动量守恒为：

$$\mathrm{m_1 u_{1}+m_2 u_2=(m_1+m_2)v}$$

这里最终速度变为 v，我们找到 v 的值为

$$\mathrm{v=\frac{m_1 u_{1}+m_2 u_2}{(m_1+m_2)}}$$

此外，动能损失由下式给出：

$$\mathrm{KE=\frac{1}{2}m_1u_{2}-\frac{1}{2}(m_1+m_2)v_2}$$

二维非弹性碰撞

我们知道，任何粒子的系统的总线性动量将保持恒定，这意味着总初始动量等于总最终动量。

我们有，

$$\mathrm{m_1 u_{1}+m_2 u_2=m_1 v_{1}\:cos \theta +m_2 v_2\:cos\theta}$$

$$\mathrm{0=m_1 v_{1} sin \theta-m_2 v_2 sin\theta}$$

二维非弹性碰撞

由于物体粘在一起，

$$\mathrm{m_1 u_{1}cos \theta +m_2 u_2=(m_1+m_2)v\:cos \theta}$$

因此，左侧的动量等于右侧的线性动量，即最终动量。所以这是完全非弹性碰撞的方程。碰撞后速度变为相同。因此，最终速度表示为 v。

一维和二维碰撞的例子

一些与碰撞相关的例子是

• 当你将篮球击打在地面上时，它会弹回你的身边。在这种情况下，动能保持不变，这意味着这个例子是弹性碰撞。

• 小粒子与原子的碰撞也是弹性碰撞的一个例子。

• 一个男孩在地面上踢足球是非弹性碰撞的一个例子。

• 一个泥球扔到墙上粘在墙上，这是非弹性碰撞。

• 如果两辆汽车相互碰撞，则是非弹性碰撞的一个例子。

• 如果一个粘土球从一定高度掉落，它也会由于非弹性碰撞而粘住。

结论

本碰撞教程可以看作是线性动量守恒的应用。物理学中的各种技术已经利用这些概念来更好地理解碰撞。

常见问题

Q1. 公共汽车撞到树上是哪种类型的碰撞？

答：在这个例子中，动能(KE)不恒定，所以是非弹性碰撞。

Q2. 在非弹性碰撞中，动能是恒定的吗？

答：不，在非弹性碰撞中，动能(KE)永远不可能守恒或恒定。

Q3. 在非弹性碰撞的情况下，动量是恒定的吗？

答：是的，在非弹性碰撞中，动量是恒定的。

Q4. 定义动量守恒。

答：根据动量守恒定律，碰撞前的动量之和与碰撞后的总动量相同。

Q5. 有些物体粘在其他物体上，这是哪种类型的碰撞？

答：非弹性碰撞