电偶极子的电势

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介绍

当我们研究一个电荷或一个电荷系统时，我们看到每个电荷都具有确定的电场量，根据其性质，该电场对其他电荷和带电粒子施加静电排斥力或吸引力。电效应可以通过单位电荷（也称为检验电荷）来体验。电荷或电荷系统周围的电场可以用两种形式描述：电场和电势。

什么是偶极子和电荷系统的电势？

偶极子的电势是由偶极子产生的静电势。首先，我们应该弄清楚什么是电势？简单来说，我们可以说，电场中某点的电势是在电场作用下，将大小为一库仑的点正电荷从无限远处移动到该点的功。因此，电势可以表示为作用在单位电荷上的功。

电势的标准测量单位是伏特。因此，一伏特的电势点是指在电场力的作用下，将单位正电荷从无限远处移动到目标点所做的功为一焦耳。

$$\mathrm{V=\frac{W}{q}}$$

电偶极子是由两个大小相等、性质相反的电荷组成的系统，它们通过一条穿过其中心的线连接起来。穿过其中心的线的长度称为偶极子长度。

为了测量电偶极子的强度，我们使用偶极矩这一术语。偶极矩可以定义为一个矢量，其大小等于电荷的乘积和它们之间的总距离，矢量的方向沿轴线从负极指向正极。它用 p 表示。

偶极矩的 SI 单位是 **库仑米**。

另一方面，如果我们使用一个包含两个以上电荷的电荷系统，则电势称为由电荷系统产生的电势。

推导由电偶极子在某点产生的电势的表达式

由电偶极子在任何点（例如 P 点）产生的电势可以针对两点表示：轴向点和赤道点。

• 偶极子在轴向点产生的电势

图片即将推出

在上图中，有一个偶极子，其具有成对的电荷；A 点为正电荷，B 点为负电荷，它们之间相隔一定的距离，用 d 表示，等于 2a。存在一个位于偶极子轴线上且距偶极子中心 r 距离的 P 点。

现在，由这两个电荷在 P 点产生的电势为

$$\mathrm{V=V_{1}+V_{2}}$$

$$\mathrm{V_{1}=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{-q}{AP}}$$

现在，

$$\mathrm{V_{2}=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{+q}{BP}}$$

P 点的总电势，$\mathrm{V=V_{1}+V_{2}}$

所以，

$$\mathrm{V=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{-q}{AP}+\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{+q}{BP}}$$

我们知道 $\mathrm{AP=r+\frac{d}{2}}$ 和 $\mathrm{BP=r-\frac{d}{2}}$，而 $\mathrm{\frac{d}{2}=a}$。

$$\mathrm{Thus,V=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{-q}{r+a}+\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{+q}{r-a}}$$

$$\mathrm{V=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}}.\left\{\frac{1}{r-a}-\frac{1}{r+a} \right\}}$$

$$\mathrm{V=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}}.\left\{\frac{(r+a)-(r-a)}{r^{2}-a^{2}} \right\}}$$

$$\mathrm{V=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}}.\left\{\frac{q\times 2a}{r^{2}-a^{2}} \right\}}$$

然而，$\mathrm{p=q\times 2a}$

因此，$\mathrm{V=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}}.\left\{\frac{p}{r^{2}-a^{2}} \right\}}$

如果偶极子非常小，则 $\mathrm{a^{2}<<r^{2}}$

所以，

$$\mathrm{V=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{p}{r^{2}}}$$

• 偶极子赤道点的电势

图片即将推出

设一个偶极子由一对性质相反、大小相等的电荷组成，分别为 -q 和 +q，两电荷相距 2l。存在一个随机点 P，该点位于偶极子的垂直平分线上，并且距偶极子中心的距离为 r。

现在，P 点到 -q 和 +q 的距离相同，均为 $\mathrm{\sqrt{r^{2}+l^{2}}}$

根据在 P 点由两个电荷产生的电势的公式，

$$\mathrm{V=V_{1}+V_{2}}$$

$$\mathrm{V=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{-q}{AP}+\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{+q}{BP}}$$

这里，AP 和 BP 相同。

$$\mathrm{So,V=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{-q}{\sqrt{r^{2}+l^{2}}}+\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{+q}{\sqrt{r^{2}+l^{2}}}}$$

$$\mathrm{Thus,-\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{q}{\sqrt{r^{2}+l^{2}}}+\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}.\frac{q}{\sqrt{r^{2}+l^{2}}}=0}$$

$$\mathrm{V=0}$$

因此，从上述表达式中可以看出，电偶极子赤道点的电势为零。

结论

偶极子在与偶极子共线的点产生的电势为 $\mathrm{V=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}}.\left\{\frac{p}{r^{2}-a^{2}} \right\}}$，而电偶极子赤道点的电势为零。

常见问题

Q1. 为什么偶极子赤道点的电势为零？

A1. 是的，偶极子的赤道点确实具有零电势，因为该点位于两个大小相等、性质相反的电荷之间。因此，两个电荷相互抵消，结果为零。

Q2. 什么是电场？

A2. 电场是带电体或粒子周围的一个区域，当我们将检验电荷带到该区域时，我们可以感受到吸引力或排斥力。该场与电荷的大小成正比，如果物体的电荷量大，则场将大而强，反之亦然。

Q3. 电场的强度是多少？

A3. 我们可以将电场强度定义为电场中电荷在特定点施加的力。如果存在电荷系统，则强度将是所有电荷施加力的总和。

Q4. 电场与电势之间有什么关系？

A4. 电场和电势之间存在直接关系，如下所示：

$$\mathrm{E=-\frac{dV}{dr}}$$

Q5. 在电势保持恒定的点，电场的数值是多少？

A5. 根据关系式 $\mathrm{E=-\frac{dV}{dr}}$，我们可以得到电势对距离的导数也与电场有关。

因此，如果电势在任何点保持恒定，则该点的电场将为零。

Q6. 电偶极矩的方向、SI 单位和量纲公式是什么？

A6. 偶极矩是矢量量，沿偶极子的轴线从负极指向正极。此外，库仑米是 SI 单位，量纲公式为 $\mathrm{M^{0}L^{1}T^{1}I^{1}}$

Q7. 电荷的量子化是什么意思？

A7. 量子代表任何物体的最小量。这里，电荷的量子化意味着物体的电荷总是其基本量子的整数倍。

$$\mathrm{q=ne}$$