变压器的电动势方程 – 变压器的匝数比和变比

变压器的电动势方程

假设一个交流电压施加到变压器初级绕组上，电源电压的频率为f。此施加的电压在变压器铁芯中产生正弦磁通φ，表示为：

$$\mathrm{\varphi = \varphi_{𝑚} sin \omega t}$$

由于此正弦磁通，在初级绕组中感应出电动势，其瞬时值由下式给出：

$$\mathrm{𝑒_{1} = −𝑁_{1}\frac{𝑑\varphi}{𝑑𝑡} = −𝑁_{1}\frac{𝑑}{𝑑𝑡}(\varphi_{𝑚} sin \omega t)}$$

$$\mathrm{⇒ 𝑒_{1} = −𝑁_{1}\omega\varphi_{𝑚} cos \omega t = 𝑁_{1}\omega\varphi_{𝑚} sin (\omega t −\frac{\pi}{2})}$$

$$\mathrm{\because \: \omega = 2\pi𝑓}$$

$$\mathrm{\therefore 𝑒_{1} = 2𝜋𝑓𝑁_{1}\varphi_{𝑚} sin (\omega t −\frac{\pi}{2})}$$

$$\mathrm{⇒ 𝑒_{1} = 𝐸_{𝑚1} sin (\omega t −\frac{\pi}{2})}$$

其中，E_m1 是初级绕组中感应电动势的最大值。

从这个表达式可以清楚地看出，初级绕组中的感应电动势 (E₁) 落后于磁通 90°。

$$\mathrm{𝐸_{𝑚1} = 𝑁_{1}𝜔\varphi_{𝑚} = 2𝜋𝑓𝑁_{1}\varphi_{𝑚}}$$

现在，对于正弦波，初级电动势 (E₁) 的 RMS 值由下式给出：

$$\mathrm{𝐸_{1} =\frac{𝐸_{𝑚1}}{\sqrt{2}}=\frac{2𝜋𝑓𝑁_{1}\varphi_{𝑚}}{\sqrt{2}}}$$

$$\mathrm{⇒ 𝐸_{1} = 4.44 𝑓\varphi_{𝑚}𝑁_{1} … (1)}$$

类似地，次级电动势 (E₂) 的 RMS 值由下式给出：

$$\mathrm{𝐸_{2} = 4.44 𝑓\varphi_{𝑚}𝑁_{2} … (2)}$$

公式 (1) 和 (2) 中的表达式称为变压器的电动势方程。

因此，一般来说，变压器的电动势方程表示为：

$$\mathrm{𝐸 = 4.44 𝑓\varphi_{𝑚}𝑁 … (3)}$$

现在，取公式 (1) 和 (2) 的比率，我们得到：

$$\mathrm{\frac{𝐸_{1}}{𝐸_{2}}=\frac{𝑁_{1}}{𝑁_{2}}}$$

$$\mathrm{⇒ \frac{𝐸_{1}}{𝑁_{1}}=\frac{E_{2}}{𝑁_{2}}… (4)}$$

从公式 (4) 可以清楚地看出，初级绕组和次级绕组中每匝感应电动势相同。

变压器的匝数比

变压器的匝数比定义为初级绕组匝数与次级绕组匝数之比，即

$$\mathrm{匝数比 =\frac{初级绕组匝数 (𝑁_{1})}{次级绕组匝数 (𝑁_{2})}}$$

因此，从公式 (1) 和 (2)，我们有：

$$\mathrm{⇒ 匝数比 =\frac{𝑁_{1}}{𝑁_{2}}=\frac{𝐸_{1}}{𝐸_{2}}}$$

对于理想变压器，E₁ = V₁ 和 E₂ = V₂，因此，

$$\mathrm{匝数比 =\frac{𝑁_{1}}{𝑁_{2}}=\frac{𝐸_{1}}{𝐸_{2}}=\frac{𝑉_{1}}{V_{2}}}$$

此外，对于理想变压器，输入伏安等于输出伏安，即

$$\mathrm{𝑉_{1}𝐼_{1} = V_{2}I_{2}}$$

$$\mathrm{⇒\frac{𝑉_{1}}{V_{2}}=\frac{I_{2}}{𝐼_{1}}}$$

因此，

$$\mathrm{匝数比 =\frac{𝑁_{1}}{𝑁_{2}}=\frac{𝐸_{1}}{𝐸_{2}}=\frac{𝑉_{1}}{V_{2}}=\frac{I_{2}}{𝐼_{1}}\:… (5)}$$

变压器的变比

变压器的变比定义为变压器输出电压与输入电压之比，即

$$\mathrm{变比，𝐾 =\frac{输出电压 (V_{2})}{输入电压 (𝑉_{1})}}$$

此外，从公式 (1) 和 (2)，我们得到

$$\mathrm{\frac{𝐸_{2}}{𝐸_{1}}=\frac{𝑁_{2}}{𝑁_{1}}}$$

对于理想变压器，

$$\mathrm{\frac{V_{2}}{𝑉_{1}}=\frac{𝐸_{2}}{𝐸_{1}}}$$

以及

$$\mathrm{𝑉_{1}𝐼_{1} = V_{2}I_{2}}$$

$$\mathrm{⇒\frac{V_{2}}{𝑉_{1}}=\frac{𝐼_{1}}{I_{2}}}$$

因此，变压器的变比由下式给出：

$$\mathrm{𝐾 =\frac{V_{2}}{𝑉_{1}}=\frac{𝐸_{2}}{𝐸_{1}}=\frac{𝑁_{2}}{𝑁_{1}}=\frac{𝐼_{1}}{I_{2}}\:… (6)}$$

从公式 (5) 和 (6)，可以看出，

$$\mathrm{匝数比 =\frac{1}{变比 (𝐾)}}$$

Manish Kumar Saini

更新于: 2021 年 8 月 20 日

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