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法律研究利用二次公式求解上面Q.1中给出的二次方程的根。
待办事项
我们需要通过应用二次公式来找到给定二次方程的根。
解答
(i) $2x^2-7x + 3 = 0$
上述方程的形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = 2, b = -7$ 且 $c = 3$
判别式 $\mathrm{D} =b^{2}-4 a c$
$=(-7)^{2}-4 \times 2\times(3)$
$=49-24$
$=25$
$\mathrm{D}>0$
设方程的根为 $\alpha$ 和 $\beta$
$\alpha =\frac{-b+\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$
$=\frac{-(-7)+\sqrt{25}}{2(2)}$
$=\frac{7+5}{4}$
$=\frac{12}{4}$
$=3$
$\beta =\frac{-b-\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$
$=\frac{-(-7)-\sqrt{25}}{2(2)}$
$=\frac{7-5}{4}$
$=\frac{2}{4}$
$=\frac{1}{2}$
因此，给定二次方程的根为 $\frac{1}{2}, 3$。
(ii) $2x^2-x + 4 = 0$
上述方程的形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = 2, b = 1$ 且 $c = - 4$
判别式 $\mathrm{D} =b^{2}-4 a c$
$=(1)^{2}-4 \times 2(-4)$
$=1+32$
$=33$
$\mathrm{D}>0$
设方程的根为 $\alpha$ 和 $\beta$
$\alpha =\frac{-b+\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$
$=\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$
$\beta =\frac{-b-\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$
$=\frac{-1-\sqrt{33}}{4}$
因此，给定二次方程的根为 $\frac{-1+\sqrt{33}}{4}, \frac{-1-\sqrt{33}}{4}$。
(iii) $4x^2 - 4\sqrt3x + 3 = 0$
上述方程的形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = 4, b = -4\sqrt3$ 且 $c = 3$
判别式 $\mathrm{D} =b^{2}-4 a c$
$=(4 \sqrt{3})^{2}-4 \times 4 \times 3$
$=48-48$
$=0$
$\mathrm{D}=0$
设方程的根为 $\alpha$ 和 $\beta$
$\alpha=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$
$=\frac{-4 \sqrt{3}+0}{8}$
$=\frac{-4 \sqrt{3}}{8}$
$=\frac{-\sqrt{3}}{2}$
$\beta=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$
$=\frac{-4 \sqrt{3}-0}{8}$
$=\frac{-4 \sqrt{3}}{8}$
$=\frac{-\sqrt{3}}{2}$
因此，给定二次方程的根为 $\frac{-\sqrt{3}}{2}, \frac{-\sqrt{3}}{2}$。
(iv) $2x^2 + x + 4 = 0$
上述方程的形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = 2, b = 1$ 且 $c = 4$
判别式 $\mathrm{D} =b^{2}-4 a c$
$=(1)^{2}-4 \times 2 \times 4$
$=1-32$
$=-31$
$\mathrm{D}<0$
因此，不存在实数根。
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