如何使用 Python 中的 numpy 计算矩阵或 ndArray 的行列式？

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在这篇文章中，我们将学习如何使用 Python 中的 numpy 库来计算矩阵的行列式。矩阵的行列式是一个标量值，可以以紧凑的形式表示矩阵。它是线性代数中一个有用的量，在物理学、工程学和计算机科学等各个领域都有多种应用。

在这篇文章中，我们将首先考察行列式的定义和性质。然后，我们将学习如何使用 numpy 计算矩阵的行列式，并查看一些示例，看看它在实践中是如何工作的。

行列式的定义和性质

矩阵的行列式是一个标量值，可以用来以紧凑的形式描述矩阵的性质。它通常用 |A| 或 det(A) 表示，其中 A 是矩阵。行列式是线性代数中的一个基本概念，它具有一些重要的性质，使其成为数学计算中一个强大的工具。

• 行列式最显著的性质之一是它等于矩阵的特征值的乘积。特征值是一组特殊的标量值，表示矩阵如何作用于某些向量，它们在线性代数的许多应用中起着至关重要的作用。

• 行列式的另一个重要性质是它等于上三角或下三角矩阵的对角线的乘积。三角矩阵是一个在对角线下方或上方具有零的矩阵，此性质在计算大型矩阵的行列式时很有用。

• 行列式也可以通过取任何一行或一列的元素与相应符号的乘积之和来计算。此性质提供了一种计算行列式的替代方法，在矩阵不是三角形的情况下很有帮助。

• 此外，行列式可以通过取矩阵主对角线上元素的乘积，再除以辅因子、子式或伴随矩阵的行列式来计算。这些矩阵是从原始矩阵派生出来的，并且具有独特的属性，使它们有助于计算行列式。

使用 numpy 计算矩阵的行列式

要使用 numpy 计算矩阵的行列式，我们可以使用 linalg.det() 函数。此函数以矩阵作为输入，并返回矩阵的行列式。让我们看一个例子 -

import numpy as np
# create a 2x2 matrix
matrix = np.array([[5, 6], [7, 8]])
# calculate the determinant of the matrix
determinant = np.linalg.det(matrix)
print(determinant)

输出

-2.000000000000005

代码解释

如您所见，linalg.det() 函数计算矩阵的行列式并将其作为标量值返回。在本例中，矩阵的行列式为 -2.0。

计算高维矩阵的行列式

要计算高维矩阵的行列式，我们可以使用相同的 linalg.det() 函数。让我们看一个例子 -

import numpy as np
# create a 3x3 singular matrix
matrix = np.array([[20, 21, 22], [23, 24, 25], [26, 27, 28]])
# calculate the determinant of the matrix
determinant = np.linalg.det(matrix)
print(determinant)

输出

2.131628207280298e-14

代码解释

如您所见，linalg.det() 函数也可用于计算高维矩阵的行列式。在本例中，矩阵的行列式为 0.0。

计算奇异矩阵的行列式

奇异矩阵是一个没有逆矩阵的矩阵。奇异矩阵的行列式为 0，这意味着它不可逆。让我们看一个例子 -

示例 1

在下面的示例中，linalg.det() 函数对奇异矩阵返回 0，这表明它不可逆。

import numpy as np
# create a 3x3 matrix
matrix = np.array([[10, 11, 12], [13, 14, 15], [16, 17, 18]])
# calculate the determinant of the matrix
determinant = np.linalg.det(matrix)
print(determinant)

输出

0.0

示例 2

linalg.slogdet() 函数返回矩阵行列式的符号和对数。行列式是使用 LU 分解方法计算的，该方法比 linalg.det() 函数使用的方法更稳定、更准确。

使用 linalg.slogdet() 函数的一个优点是，它比 linalg.det() 函数更稳定、更准确，尤其是在大型矩阵中。但是，请记住，它返回行列式的对数，因此您需要取结果的指数才能获得实际的行列式。

import numpy as np
# create a 3x3 matrix
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
# calculate the determinant of the matrix using the linalg.slogdet() function
sign, determinant = np.linalg.slogdet(matrix)
print(determinant)

输出

-inf

结论

本文教我们如何使用 Python numpy 计算矩阵的行列式。我们查看了行列式的定义和性质，并了解了如何使用 linalg.det() 函数计算矩阵的行列式。我们还查看了一些示例，看看它在实践中是如何工作的。我们还学习了如何在 Python 中使用 numpy 计算矩阵的行列式。

行列式是一个标量值，可以用来以紧凑的形式表示矩阵，它在各个领域都有许多应用。要使用 numpy 计算矩阵的行列式，我们可以使用 linalg.det() 函数，该函数以矩阵作为输入并返回行列式。或者，我们可以使用 linalg.slogdet() 函数，该函数使用 LU 分解方法返回行列式的符号和对数。这两个函数都允许我们轻松地在 Python 中计算矩阵的行列式，并且它们是任何在科学和工程应用中使用矩阵的人的有用工具。