如何在 Python 中使用 numpy 计算矩阵的迹？

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使用 Numpy 计算矩阵的迹是线性代数中常见的运算，可用于提取有关矩阵的重要信息。矩阵的迹定义为矩阵主对角线上的元素之和，主对角线从左上角到右下角。在本文中，我们将学习使用 Python 中的 NumPy 库计算矩阵迹的各种方法。

在开始之前，让我们首先导入 NumPy 库 -

import numpy as np

接下来，让我们使用 np.array 函数定义一个矩阵 -

A = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])

示例 1

要计算此矩阵的迹，我们可以使用 NumPy 中的 np.trace 函数

import numpy as np
A = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
trace = np.trace(A)
print(trace)

输出

15

np.trace 函数接受一个参数，即我们要计算其迹的矩阵。它将矩阵的迹作为标量值返回。

示例 2

或者，我们还可以使用 sum 函数和索引主对角线上的元素来计算矩阵的迹 -

import numpy as np
A = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
trace = sum(A[i][i] for i in range(A.shape[0]))
print(trace)

输出

15

在这里，我们使用矩阵的 shape 属性来确定其维度，并使用 for 循环迭代主对角线上的元素。

需要注意的是，矩阵的迹仅针对方阵定义，即行数和列数相同的矩阵。如果尝试计算非方阵的迹，则会出错。

示例 3

除了计算矩阵的迹之外，NumPy 还提供了一些其他函数和方法来执行各种线性代数运算，例如计算矩阵的行列式、逆矩阵以及矩阵的特征值和特征向量。以下是 NumPy 提供的一些最有用的线性代数函数列表 -

• np.linalg.det - 计算矩阵的行列式

• np.linalg.inv - 计算矩阵的逆。

• np.linalg.eig - 计算矩阵的特征值和特征向量。

• np.linalg.solve - 求解由矩阵表示的线性方程组

• np.linalg.lstsq - 求解线性最小二乘问题。

• np.linalg.cholesky - 计算矩阵的 Cholesky 分解。

要使用这些函数，您需要导入 NumPy 的 linalg 子模块 -

 import numpy.linalg as LA

示例 3

例如，要使用 NumPy 计算矩阵的行列式，可以使用以下代码 -

import numpy as np
import numpy.linalg as LA
A = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
det = LA.det(A)
print(det)

输出

0.0

NumPy 的线性代数函数针对性能进行了优化，使其成为大规模科学和数学计算应用的理想选择。除了提供广泛的线性代数函数外，NumPy 还提供了一些方便的函数来创建和操作矩阵和 n 维数组，例如 np.zeros、np.ones、np.eye 和 np.diag。

示例 4

以下是如何使用 np.zeros 函数创建零矩阵的示例 -

import numpy as np
A = np.zeros((3,3)) # Creates a 3x3 matrix of zeros
print(A)

输出

这将输出以下矩阵

[[0. 0. 0.]
[0. 0. 0.]
[0. 0. 0.]]

示例 5

类似地，np.ones 函数可以创建全 1 矩阵，而 np.eye 函数可以创建单位矩阵。例如 -

import numpy as np
A = np.ones((3,3)) # Creates a 3x3 matrix of ones
B = np.eye(3) # Creates a 3x3 identity matrix
print(A)
print(B)

输出

这将输出以下矩阵。

[[1. 1. 1.]
[1. 1. 1.]
[1. 1. 1.]]

[[1. 0. 0.]
[0. 1. 0.]
[0. 0. 1.]]

示例 6

最后，np.diag 函数可以根据给定的列表或数组创建对角矩阵。例如 -

import numpy as np
A = np.diag([1,2,3]) # Creates a diagonal matrix from the given list
print(A)

输出

这将输出以下矩阵。

[[1 0 0]
[0 2 0]
[0 0 3]]

结论

总之，NumPy 是一个功能强大的 Python 库，用于执行线性代数运算。它提供的广泛的函数和方法使其成为科学和数学计算的重要工具，并且其优化的性能使其适用于大规模应用。无论您需要计算矩阵的迹、查找矩阵的逆还是求解线性方程组，NumPy 都能为您提供所需的工具来完成工作。