使用广度优先搜索实现供水问题

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在这个问题中，我们将找到可以供水的最大城市数量。

我们可以将此问题视为遍历阻塞节点的图。因此，我们可以使用广度优先搜索算法来查找最大数量的连接城市。

问题陈述

我们给定总共 N 个城市。此外，我们还给定了两个城市之间的边；所有城市都与任何其他单个或多个城市连接。我们需要在每个城市建立供水连接。我们还给定了包含 0 和 1 值的 blocked[] 数组。值 1 表示城市被阻塞。因此，我们不能通过该特定城市输水。值 0 表示我们可以通过该城市输水。我们需要找到可以供水的最大城市数量。

示例

输入

cities = 5; roads = 1-> 2, 2 -> 3, 3-> 4, 4-> 5; blocked[] = {0, 1, 0, 0, 1};

输出

4

解释

如果我们从第 3 个或第 4 个城市开始供水，我们可以向第 2、3、4 和 5 个城市供水。

输入

cities = 5; roads = 1-> 2, 2 -> 3, 3-> 4, 4-> 5; blocked[] = {1, 1, 1, 1, 1};

输出

1

解释

当所有城市都被阻塞时，我们可以向连接到水连接的任何单个城市供水。

输入

cities = 6; roads = 1-> 2, 2 -> 3, 2 -> 6, 3-> 4, 4-> 5; blocked[] = {1, 0, 0, 1, 0, 1};

输出

4

解释

我们可以将水连接到第 2 个城市，以便向第 1、2、3 和 4 个城市供水。

方法

在这种方法中，我们将使用广度优先搜索算法找到所有连接城市的集合。之后，我们可以将最大连接最大城市的集合的大小作为答案。

算法

• 步骤 1 - 使用 false 布尔值初始化 visited[] 数组，以跟踪在 BFS 遍历期间是否访问了该城市。

• 步骤 2 - 使用 1 初始化 maxi 以跟踪最大连接城市。

• 步骤 3 - 使用循环遍历每个城市。如果城市未被阻塞且之前未被访问过，则调用 findConnectedCities() 函数以查找当前城市的所有连接城市。

• 步骤 3.1 - 在 findConnectedCities() 函数中，将当前城市标记为已访问。

• 步骤 3.2 - 定义队列并将源城市插入队列。此外，使用 0 初始化 'cnt' 以存储连接城市的数目。

• 步骤 3.3 - 在队列不为空时遍历队列。

• 步骤 3.3.1 - 弹出队列的第一个元素。

• 步骤 3.3.2 - 遍历当前城市的所有相邻城市。

• 步骤 3.3.3 - 如果城市未被访问或未被阻塞，则将 'cnt' 增加 1，将其标记为已访问，并将其插入队列。

• 步骤 3.3.4 - 如果城市未被访问且城市被阻塞，则将 'cnt' 增加 1。

• 步骤 3.3.5 - 从队列中弹出城市。

• 步骤 3.4 - 返回 cnt + 1。在这里，我们添加 1 以计算源城市本身。

• 步骤 4 - 如果函数返回的值大于 maxi，则使用新值更新 maxi。

• 步骤 5 - 返回 maxi。

示例

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

int findConnectedCities(int blocked[], bool visited[], vector<int> roads[], int source) {
   visited[source] = true;
   queue<int> que;
   que.push(source);
   int cnt = 0;
   while (!que.empty()) {
      int temp = que.front();
      for (int p = 0; p < roads[temp].size(); p++) {
         // When the neighboring city is not blocked and visited
         if (!visited[roads[temp][p]] && blocked[roads[temp][p]] == 0) {
            cnt++;
            visited[roads[temp][p]] = true;
            que.push(roads[temp][p]);
         }
         // We can supply water to the blocked city, but the block city can't supply water to other cities
         else if (!visited[roads[temp][p]] && blocked[roads[temp][p]] == 1) {
            cnt++;
         }
      }
      que.pop();
   }
   return cnt + 1;
}
int maxNumberCities(int cities, int blocked[], vector<int> roads[]) {
   bool visited[cities + 1];
   int maxi = 1;
   for (int p = 1; p <= cities; p++)
      visited[p] = false;
   // Start BFS for each city
   for (int p = 1; p <= cities; p++) {
      // When the city is not blocked and not visited
      if (blocked[p] == 0 && !visited[p]) {
         int temp = findConnectedCities(blocked, visited, roads, p);
         if (temp > maxi) {
            maxi = temp;
         }
      }
   }
   return maxi;
}
int main() {
   int cities = 5;
   vector<int> roads[cities + 1];
   // To store road connection
   roads[1].push_back(2);
   roads[2].push_back(1);
   roads[2].push_back(3);
   roads[3].push_back(2);
   roads[3].push_back(4);
   roads[4].push_back(3);
   roads[3].push_back(5);
   roads[5].push_back(3);
   // To store whether the city is blocked or not
   int blocked[] = {0, 1, 0, 0, 1};
   cout << "The maximum number of cities to which we can supply water is " << maxNumberCities(cities, blocked, roads);
   return 0;
}

输出

The maximum number of cities to which we can supply water is 4

• 时间复杂度 - O(N) 以遍历所有城市。

• 空间复杂度 - O(N) 以将城市存储在队列中。

结论

给定的问题非常类似于查找最大岛屿的大小。在岛屿问题中，我们也从未访问的节点开始 BFS 遍历并查找连接的节点。