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法律研究瞬时功率和平均功率公式
单相系统
瞬时功率
交流电路中的瞬时功率定义为元件上的瞬时电压 (v) 和流过元件的瞬时电流 (i) 的乘积，用小写字母 p 表示。
瞬时功率，$\mathrm{p=v\times\:i}$
由于瞬时电压和瞬时电流的值会随时变化，因此瞬时功率也会随时间变化。瞬时功率 (p) 以瓦特为单位测量。瞬时功率可以是正的也可以是负的。正瞬时功率表示功率从电源流向负载，而负瞬时功率表示功率从负载流向电源。
瞬时功率公式
情况 1 – 纯电阻电路
在纯电阻电路的情况下，瞬时电流值和电压值为：
$$\mathrm{v=V_{m}\sin\omega\:t}$$
$$\mathrm{i=I_{m}\sin\omega\:t}$$
因此，瞬时功率将为：
$$\mathrm{p=v\times\:i=(v_{m}\sin\omega\:t)\times\:(I_{m}\sin\omega\:t)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:p=\frac{V_{m}I_{m}}{2}-\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos2\omega\:t\:\:\:...(1)}$$
情况 2 – 纯电感电路
对于纯电感电路，瞬时电压和电流的方程由下式给出：
$$\mathrm{v=V_{m}\sin\omega\:t}$$
$$\mathrm{i=I_{m}\sin(\omega\:t-90)}$$
因此，瞬时功率将为：
$$\mathrm{p=v\times\:i=(V_{m}\sin\omega\:t)\times\:(I_{m}\sin(\omega\:t-90))}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:p=-\frac{V_{m}I_{m}}{2}\sin2\omega\:t\:\:\:...(2)}$$
情况 3 – 纯电容电路
纯电容电路的瞬时电压和电流方程由下式给出：
$$\mathrm{v=V_{m}\sin\omega\:t}$$
$$\mathrm{i=I_{m}\sin(\omega\:t+90)}$$
因此，瞬时功率将为：
$$\mathrm{p=v\times\:i=(V_{m}\sin\omega\:t)\times\:(I_{m}\sin(\omega\:t+90))}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:p=\frac{V_{m}I_{m}}{2}\sin2\omega\:t\:\:\:...(3)}$$
从公式 (1)、(2) 和 (3) 可以看出，单相系统中的瞬时功率以两倍于电源频率的变化从零到最大值，并且可以是正的或负的。
平均功率
平均功率定义为一个周期内瞬时功率的平均值，用大写字母 P 表示。它也以瓦特为单位测量。
平均功率，p = 一个周期内 p 的平均值
$$\mathrm{p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}p\:d\omega\:t\:\:\:\:...(4)}$$
平均功率公式
情况 1 – 纯电阻电路
$$\mathrm{\mathrm{p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}p\:d\omega\:t=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{V_{m}I_{m}}{2}-\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos2\omega\:t\:d\omega\:t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:p=\frac{V_{m}I_{m}}{2}=\frac{V_{m}}{\sqrt{2}}\times\:\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}=VI\:\:\:...(5)}$$
其中，V 和 I 分别是电压和电流的有效值。
情况 2 – 纯电感电路
$$\mathrm{p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}p\:d\omega\:t=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}-\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos2\omega\:t\:d\omega\:t=0\:\:\:...(6)}$$
因此，纯电感器吸收的平均功率为零。
情况 3 – 纯电容电路
$$\mathrm{p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}p\:d\omega\:t=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos2\omega\:t\:d\omega\:t=0\:\:\:...(7)}$$
因此，纯电容器吸收的平均功率也为零。
三相系统
瞬时功率
众所周知，单相瞬时功率（对于滞后功率因数负载）由下式给出：
$$\mathrm{p=\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos\varphi-\frac{V_{m}I_{m}}{2}\cos(2\omega\:t-\varphi)}$$
用有效值表示，它变为：
$$\mathrm{p=VI\cos\varphi-VI\cos(2\omega\:t-\varphi)}$$
现在，三相（RYB 相序）中的瞬时功率可以写成：
$$\mathrm{p_{R}=V_{ph}I_{ph}\cos\varphi-V_{ph}I_{ph}\cos(2\omega\:t-\varphi)}$$
$$\mathrm{p_{Y}=V_{ph}I_{ph}\cos\varphi-V_{ph}I_{ph}\cos(2\omega\:t-\varphi-120^{\circ})}$$
$$\mathrm{p_{H}=V_{ph}I_{ph}\cos\varphi-V_{ph}I_{ph}\cos(2\omega\:t-\varphi+120^{\circ})}$$
因此，三相系统中的总瞬时功率由下式给出：
$$\mathrm{p=P_{R}+P_{Y}+P_{H}}$$
$$\mathrm{p=3V_{ph}I_{ph}\cos\varphi-V_{ph}I_{ph}\begin{bmatrix}\cos(2\omega\:t-\varphi)\+\cos(2\omega\:t-\varphi-120^{\circ})\ +\cos(2\omega\:t-\varphi+120^{\circ})\end{bmatrix}}$$
$$\mathrm{\because\begin{bmatrix}\cos(2\omega\:t-\varphi)\+\cos(2\omega\:t-\varphi-120^{\circ})\ +\cos(2\omega\:t-\varphi+120^{\circ})\end{bmatrix}=0}$$
因此，
$$\mathrm{p=3V_{ph}I_{ph}\cos\varphi\:\:\:...(8)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:p=\sqrt{3}V_{L}I_{L}\cos\varphi\:\:\:...(9)}$$
公式 (8) 和 (9) 表明三相瞬时功率是恒定的，而不是电源频率的函数。
平均功率
根据平均功率的定义，我们得到：
$$\mathrm{P=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}3V_{ph}I_{ph}\cos\varphi\:d\omega=3V_{ph}I_{ph}\cos\varphi}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:P=3V_{ph}I_{ph}\cos\varphi=\sqrt{3}V_{L}I_{L}\cos\varphi\:\:\:...(10)}$$
因此，在三相系统的情况下，平均功率和瞬时功率相同。
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