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法律研究使用傅里叶级数计算周期函数的平均功率
当V伏特的电压施加到R Ω的电阻上时，电流I将流过它。电阻上消耗的功率由下式给出：
$$\mathrm{P=I^2R=\frac{V^2}{R}\:\:\:\:\:\:....(1)}$$
但是当电压和电流信号不恒定时，功率在每个瞬间都会发生变化，瞬时功率的方程由下式给出：
$$\mathrm{P=i^2(t)R=\frac{V^2(t)}{R}\:\:\:\:\:\:....(2)}$$
其中，𝑖(𝑡)和𝑣(𝑡)分别为电流和电压的瞬时值
现在，如果电阻 (R) 的值为 1 Ω，则瞬时功率可以表示为：
$$\mathrm{p=i^2(t)=v^2(t)\:\:\:\:\:\:....(3)}$$
因此，信号 x(t) 的瞬时功率可以表示为
$$\mathrm{p=x^2(t)\:\:\:\:\:\:....(4)}$$
因此，x(t) 在某个时间间隔内的平均功率为：
$$\mathrm{平均功率,\:\:P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x^2(t)dt\:\:\:\:\:\:....(5)}$$
利用帕塞瓦尔定理，我们得到
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}|x(t)|^2dt=\sum_{\substack{n=-\infty \ n
eq 0}}^{\infty} |C_n|^2=C_{0}^{2}+\sum_{\substack{n=-\infty \ n
eq 0}}^{\infty}C_{n}^{2}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{1}{T}\int_{0}^{T}|x(t)|^2dt=C_{0}^{2}+\sum_{\substack{n=-\infty \ n
eq 0}}^{\infty}C_{n}C_{n}^{*}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{1}{T}\int_{0}^{T}|x(t)|^2dt=a_{0}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}2[Re(C_{n}^{2})+Im(C_{n}^{2})]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{1}{T}\int_{0}^{T}|x(t)|^2dt=a_{0}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}^{2}}{2}+\frac{b_{n}^{2}}{2}\:\:\:\:\:....(6)}$$
比较公式 (5) 和 (6)，我们得到：
$$\mathrm{P=a_{0}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}^{2}}{2}+\frac{b_{n}^{2}}{2}\:\:\:\:\:....(7)}$$
因此，可以使用傅里叶级数给出一段时间内的平均功率，如下所示：
$$\mathrm{平均功率 = (直流项)^2+\sum(余弦项的均方值)+\sum(正弦项的均方值)\:\:\:\:\:....(8)}$$
数值示例
确定以下信号的平均功率：
$$\mathrm{x(t)=\cos^2(4000\pi t)\sin (10000\pi t)}$$
解答
给定信号为：
$$\mathrm{x(t)=\cos^2(4000\pi t)\sin (10000\pi t)}$$
$$\mathrm{\because \cos^2 \theta = \frac{1 +\cos2 \theta}{2}}$$
$$\mathrm{\therefore x(t)=(\frac{1+\cos8000\pi t}{2})\sin(10000\pi t)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow x(t)=\frac{1}{2}\sin(10000\pi t)+\frac{1}{2}\sin(10000\pi t)\cos(8000\pi t)}$$
$$\mathrm{\because \sin X\cos Y = \frac{\sin(X+Y)\sin(X-Y)}{2}}$$
$$\mathrm{\therefore x(t)=\frac{1}{2}\sin(10000\pi t)+\frac{1}{4}\sin(18000\pi t)+\frac{1}{4}\sin(2000\pi t)}$$
因此，根据公式 (8)，信号的平均功率为
$$\mathrm{P=\frac{(1/2)^2}{2}+\frac{(1/4)^2}{2}+\frac{(1/4)^2}{2}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow P=\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}=\frac{3}{16}\: 瓦特}$$
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