使用傅里叶级数计算周期函数的平均功率

当V伏特的电压施加到R Ω的电阻上时，电流I将流过它。电阻上消耗的功率由下式给出：

$$\mathrm{P=I^2R=\frac{V^2}{R}\:\:\:\:\:\:....(1)}$$

但是当电压和电流信号不恒定时，功率在每个瞬间都会发生变化，瞬时功率的方程由下式给出：

$$\mathrm{P=i^2(t)R=\frac{V^2(t)}{R}\:\:\:\:\:\:....(2)}$$

其中，𝑖(𝑡)和𝑣(𝑡)分别为电流和电压的瞬时值

现在，如果电阻 (R) 的值为 1 Ω，则瞬时功率可以表示为：

$$\mathrm{p=i^2(t)=v^2(t)\:\:\:\:\:\:....(3)}$$

因此，信号 x(t) 的瞬时功率可以表示为

$$\mathrm{p=x^2(t)\:\:\:\:\:\:....(4)}$$

因此，x(t) 在某个时间间隔内的平均功率为：

$$\mathrm{平均功率,\:\:P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x^2(t)dt\:\:\:\:\:\:....(5)}$$

利用帕塞瓦尔定理，我们得到

$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}|x(t)|^2dt=\sum_{\substack{n=-\infty \ n eq 0}}^{\infty} |C_n|^2=C_{0}^{2}+\sum_{\substack{n=-\infty \ n eq 0}}^{\infty}C_{n}^{2}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \frac{1}{T}\int_{0}^{T}|x(t)|^2dt=C_{0}^{2}+\sum_{\substack{n=-\infty \ n eq 0}}^{\infty}C_{n}C_{n}^{*}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \frac{1}{T}\int_{0}^{T}|x(t)|^2dt=a_{0}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}2[Re(C_{n}^{2})+Im(C_{n}^{2})]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \frac{1}{T}\int_{0}^{T}|x(t)|^2dt=a_{0}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}^{2}}{2}+\frac{b_{n}^{2}}{2}\:\:\:\:\:....(6)}$$

比较公式 (5) 和 (6)，我们得到：

$$\mathrm{P=a_{0}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}^{2}}{2}+\frac{b_{n}^{2}}{2}\:\:\:\:\:....(7)}$$

因此，可以使用傅里叶级数给出一段时间内的平均功率，如下所示：

$$\mathrm{平均功率 = (直流项)^2+\sum(余弦项的均方值)+\sum(正弦项的均方值)\:\:\:\:\:....(8)}$$

数值示例

确定以下信号的平均功率：

$$\mathrm{x(t)=\cos^2(4000\pi t)\sin (10000\pi t)}$$

解答

给定信号为：

$$\mathrm{x(t)=\cos^2(4000\pi t)\sin (10000\pi t)}$$

$$\mathrm{\because \cos^2 \theta = \frac{1 +\cos2 \theta}{2}}$$

$$\mathrm{\therefore x(t)=(\frac{1+\cos8000\pi t}{2})\sin(10000\pi t)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x(t)=\frac{1}{2}\sin(10000\pi t)+\frac{1}{2}\sin(10000\pi t)\cos(8000\pi t)}$$

$$\mathrm{\because \sin X\cos Y = \frac{\sin(X+Y)\sin(X-Y)}{2}}$$

$$\mathrm{\therefore x(t)=\frac{1}{2}\sin(10000\pi t)+\frac{1}{4}\sin(18000\pi t)+\frac{1}{4}\sin(2000\pi t)}$$

因此，根据公式 (8)，信号的平均功率为

$$\mathrm{P=\frac{(1/2)^2}{2}+\frac{(1/4)^2}{2}+\frac{(1/4)^2}{2}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow P=\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}=\frac{3}{16}\: 瓦特}$$

Manish Kumar Saini

更新于: 2021年12月3日

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