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法律研究三角函数与指数傅里叶级数的关系
三角傅里叶级数
周期函数可以在一定的时间间隔内表示为正交函数的线性组合。如果这些正交函数是三角函数，则称为**三角傅里叶级数**。
数学上，周期信号的标准三角傅里叶级数展开式为：
$$\mathrm{x(t)=a_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:\omega_{0}nt+b_{n}\:sin\:\omega_{0}nt\:\:… (1)}$$
指数傅里叶级数
周期函数可以在一定的时间间隔内表示为正交函数的线性组合，如果这些正交函数是指数函数，则称为**指数傅里叶级数**。
数学上，周期函数的标准指数傅里叶级数展开式为：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}\:\:… (2)}$$
从指数傅里叶级数导出三角傅里叶级数
周期函数 $x(t)$ 的指数傅里叶级数由下式给出：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=C_{0}+\sum_{n=−\infty}^{-1}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}+\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}(C_{-n}e^{-jn\omega_{0} t}+C_{n}e^{jn\omega_{0} t})}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[C_{-n}(cos\:n\omega_{0}t-j\:sin\:n\omega_{0}t)+C_{n}(cos\:n\omega_{0}t + j\:sin\:n\omega_{0}t)]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[(C_{n}+C_{-n})cos\:n\omega_{0}t+j(C_{n}-C_{-n})sin\:n\omega_{0}t]\:\:… (3)}$$
现在，将公式 (3) 与公式 (1) 中给出的标准三角傅里叶级数进行比较，得到三角傅里叶级数的系数如下：
$$\mathrm{a_{0}=C_{0}}$$
$$\mathrm{a_{n}=C_{n}+C_{-n}}$$
$$\mathrm{b_{n}=j(C_{n}+C_{-n})}$$
通过计算这些三角系数，我们可以写出周期函数的三角傅里叶级数展开式。
从三角傅里叶级数导出指数傅里叶级数
指数傅里叶级数可以从三角傅里叶级数导出，如下所示：
周期函数的三角傅里叶级数展开式由下式给出：
$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:\omega_{0}nt+b_{n}\:sin\:\omega_{0}nt}$$
其中，三角傅里叶系数由下式给出：
$$\mathrm{a_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)dt\:\:… (4)}$$
$$\mathrm{a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)\:cos\:n\omega_{0}t\:\:dt\:\:\:… (5)}$$
$$\mathrm{b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)sin\:n\omega_{0}t\:\:dt\:\:\:… (6)}$$
从指数傅里叶级数中，**指数傅里叶系数 $C_{n}$** 由下式给出：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t) e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$
利用欧拉公式，我们得到：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)(cos\:n\omega_{0} t - j\:sin\:n\omega_{0} t)dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:C_{n}=\frac{1}{T}\left ( \frac{2}{T}\int_{0}^{T} x(t)\:cos\:n\omega_{0} t\: dt-j\frac{2}{T}\int_{0}^{T} x(t)\: sin \:n\omega_{0} t dt \right )… (7)}$$
将公式 (7) 与 (5) 和 (6) 进行比较，我们得到：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{2}[a_{n}-jb_{n}]\:… (8)}$$
类似地，**指数傅里叶系数** $C_{-n}$ 为：
$$\mathrm{C_{-n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t) e^{jn\omega_{0} t}dt}$$
利用欧拉公式，我们得到：
$$\mathrm{C_{-n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)(cos\:n\omega_{0}t+j\:sin\:n\omega_{0}t)\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:C_{-n}= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)cos\:n\omega_{0}t\:dt + j\frac{2}{T}\int_{0}^{T} x(t)\:sin\:n\omega_{0} t dt \right)\:\:… (9)}$$
将公式 (9) 与 (5) 和 (6) 进行比较，我们得到：
$$\mathrm{C_{-n}=\frac{1}{2}[a_{n}+jb_{n}]\:… (10)}$$
并且，**指数傅里叶系数** $C_{0}$ 为：
$$\mathrm{C_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)\:dt=a_{0}… (11)}$$
利用公式 (8)、(10) 和 (11)，我们可以从三角傅里叶系数获得指数傅里叶系数的值，然后从三角傅里叶级数获得指数傅里叶级数。
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