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法律研究傅立叶级数——表示和性质
让·巴蒂斯特·约瑟夫·傅立叶开发了一种适用于各种工程问题、用于分析非正弦波形的技术。很多时候，时域中所有可用的信息不足以进行电路分析，因此我们需要将信号转换到频域以提取有关信号的更多信息。傅立叶级数是一种用于将信号从时域转换为频域的工具。在傅立叶级数中，信号分解为谐波相关的正弦函数。
频域分析
周期性信号可以分解为谐波相关的正弦函数或复指数函数的线性加权和，这些函数称为傅立叶级数。通过将信号分解成与频率相关的分量来进行信号分析称为频域分析。
傅立叶级数只能用于表示满足狄利克雷条件的那些周期性信号。
狄利克雷条件
函数f(t)可以在任何周期 t 上绝对积分，如果
f(t)在周期 (t) 的任何有限区间内具有有限个最大值和最小值。
f(t)在周期 (t) 的任何有限区间内具有有限个不连续点，并且这些不连续点中的每一个都是有限的。
傅立叶级数表示
傅立叶级数有两种类型，两者都是等价的。根据信号类型，选择最方便的表示。
傅立叶级数的指数形式
傅立叶级数的三角形式
傅立叶级数的指数形式
J. B. J.傅里叶证明了一个周期函数 f (t) 可以表示为一个正弦函数的和。根据傅里叶表示法，
$$f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty M_{n}\cos(n\omega_{0}t+\theta_{n})$$
其中 $\omega_{0}=\frac{2\Pi}{T_{0}^{\prime}}$
T0是时间周期，当 n = 1 时，一个周期覆盖 T0 秒，而 $M_{1}\cos(\omega_{0}t+\theta_{1})$称为基波。当 n = 2 时，T0表示 T0 秒内的两个周期，而 $M_{2}\cos(2\omega_{0}t+\theta_{2})$被称为第 2次谐波。同样，对于 n = K，K 个周期落在 T0 秒内，而 $M_{K}\cos(K\omega_{0}t+\theta_{K})$是第 K次谐波项。
因此，通过使用欧拉恒等式，
$$f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty\
eq\:0}^\infty C_{n}e^{jn\omega_{0}t}$$
其中，Cn = 复数傅里叶系数，
$$f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}\cos(n\omega_{0}t)+b_{n}\sin(nw_{0}t)$$
傅里叶系数由以下表达式定义，
$$C_{n}=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{1}}^{t_{1}+T_{0}}f(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt\:\:\:...(1)$$
表达式 (1) 表示傅里叶级数的指数形式。
傅立叶级数的三角形式
可以很容易地从指数形式中导出傅立叶级数的三角形式。周期信号 f (t) 的三角傅里叶级数表示，基本时间周期为 T0，由下式给出，
$$f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty (a_{n}\cos\:n\omega_{0}t+b_{n}\sin\:n\omega_{0}t)$$
其中，$\omega_{0}=\frac{2\Pi}{T_{0}}$，由 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 给出的傅里叶系数为，
$$a_{n}=\frac{2}{T_{0}}\int_{t_{1}}^{t_{1}+T_{0}}f(t)\cos(n\omega_{0}t)dt$$
$$a_{n}=\frac{2}{T_{0}}\int_{t_{1}}^{t_{1}+T_{0}}f(t)\sin(n\omega_{0}t)dt$$
a0是波形的平均值，可以直接从波形中计算得出，由以下公式给出，
$$a_{0}=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{1}}^{t_{1}+T_{0}}f(t)dt$$
傅立叶级数的性质
如果f(t)是偶函数，即f(-t) = f(t)，则
$$a_{0}=\frac{2}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)dt\:,$$
$$a_{n}=\frac{4}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)dt\cos(n\omega_{0}t)dt\:,$$
$$b_{n}=0$$
如果 f(t) 是奇函数，即f(-t) = - f(t)，则
$$a_{0}=0$$,
$$a_{n}=0$$,
$$b_{n}=\frac{4}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)\sin(n\omega_{0}t)dt\:,$$
如果 f(t) 是半波对称函数，即 $f(t)==f(t-\frac{T_{0}}{2})$，则
当 n 为偶数时，
$$a_{0}=0$$,
$$a_{n}=b_{n}=0$$,
当 n 为奇数时，
$$a_{n}=\frac{4}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)\cos(n\omega_{0}t)dt\:,$$,
$$b_{n}=\frac{4}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)\sin(n\omega_{0}t)dt$$
傅里叶级数性质的总结
对于偶函数，其傅里叶级数的所有项都是余弦项。没有正弦项。但是，该函数确实有平均值 a0
对于奇函数，该级数仅包含正弦项。无平均值和余弦项。
如果给定函数为半波对称函数，则级数中仅存在奇次谐波，当 n 为奇数时，级数将同时包含正弦项和余弦项。平均值为零。
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