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法律研究连续时间傅里叶变换 (CTFT) 的性质
傅里叶变换
连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
逆傅里叶变换
连续时间函数的逆傅里叶变换定义为：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}$$
傅里叶变换的性质
连续时间傅里叶变换 (CTFT) 具有许多重要的性质。这些性质可用于推导傅里叶变换对，以及推导出一般的频域关系。这些性质还有助于找到各种时域运算对频域的影响。连续时间傅里叶变换的一些重要性质如下表所示：
| CTFT 的性质 | 时域 x(t) | 频域 X(ω) |
|---|---|---|
| 线性性质 | $ax_{1}(t)+bx_{2}(t)$ | $aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)$ |
| 时移性质 | $x(t ± t_{0})$ | $e^{± j\omega t_{0}}X(\omega)$ |
| 频移性质 | $ e^{± j\omega_{0} t}x(t)$ | $X(\omega ∓ \omega_{0})$ |
| 时间反转性质 | x(-t) | $x(-\omega)$ |
| 时间尺度变换性质 | x(at) | $\frac{1}{|a|} X(\frac{\omega}{a})$ |
| 时间微分性质 | $\frac{d}{dt} x(t)$ | $j \omega X(\omega)$ |
| 频率微分性质 | $t.x(t)$ | $j\frac{d}{d\omega}X(\omega)$ |
| 时间积分性质 | $\int_{−\infty}^{\infty} x(t) d τ$ | $\frac{X(\omega)}{j\omega}$ |
| 卷积性质 | $x_{1}(t)*x_{2}(t)$ | $X_{1}(\omega)X_{2}(\omega)$ |
| 乘法性质 | $x_{1}(t)x_{2}(t)$ | $\frac{1}{2\pi}[X_{1}(\omega)*X_{2}(\omega)]$ |
| 对偶或对称性质 | X(t) | $2\pi x(-\omega)$ |
| 调制性质 | $x(t)\:cos\:\omega_{0}t$ | $\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]$ |
| $x(t)\:sin\:\omega_{0}t$ | $\frac{1}{2j}[X(\omega-\omega_{0})-X(\omega+\omega_{0})]$ | |
| 共轭性质 | x*(t) | $x*(-\omega)$ |
| 自相关性质 | R(τ) | $|X(-\omega)|^{2}$ |
| 帕斯瓦尔定理 | $\int_{−\infty}^{\infty} x_{1}(t)x_{2}^*(t)dt$ | $\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X_{1}(\omega)x_{2}^*(\omega)d\omega$ |
| 帕斯瓦尔恒等式 | $\int_{−\infty}^{\infty}|x(t)|^{2} dt$ | $\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}|X(\omega)|^{2}d\omega$ |
| 曲线下面积性质 | $\int_{−\infty}^{\infty}x(t)dt$ | $\frac{1}{2\pi}X(0)$ |
| x(0) | $\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)d\omega$ |
更新时间： 2021年12月3日
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