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法学傅里叶变换的时标变换性质
对于连续时间函数𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡)的傅里叶变换可以定义为
$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$
傅里叶变换的时标变换性质
说明 – 傅里叶变换的时标变换性质指出，如果一个信号在时间上扩展了量(a)，那么它的傅里叶变换在频率上就会压缩相同的量。因此，如果
$$\mathrm{x\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow} X\left ( \omega \right )}$$
那么，根据傅里叶变换的时标变换性质
$$\mathrm{x\left ( at \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{\left | a \right |} X\left ( \frac{\omega }{a} \right )}$$
当𝑎 > 1时，𝑥(𝑎𝑡)是𝑥(𝑡)的压缩版本，并且
当𝑎 < 1时，函数𝑥(𝑎𝑡)是𝑥(𝑡)的扩展版本。
证明 – 根据傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{F\left [ x\left ( t \right ) \right ]=X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$
然后，我们有：
$$\mathrm{F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( at \right )e^{-j\omega t}dt}$$
令𝑎𝑡 = 𝑢，则
$$\mathrm{t=\frac{u}{a};\; \; and\; \; dt=\frac{du}{a}}$$
$$\mathrm{\therefore F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( u \right )e^{-j\omega \left ( \frac{u}{a} \right )}\frac{du}{a}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=\frac{1}{a}\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( u \right )e^{-j\left ( \frac{\omega}{a} \right ) u }du}$$
情况一 – 当𝑎 > 0时，则
$$\mathrm{F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=\frac{1}{a}\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( u \right )e^{-j\left ( \frac{\omega}{a} \right ) u }du=\frac{1}{a}X\left ( \frac{\omega }{a} \right )}$$
情况二 – 当𝑎 < 0时，则
$$\mathrm{F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=-\frac{1}{a}\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( u \right )e^{j\left ( \frac{\omega}{a} \right ) u }du}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=-\frac{1}{a}\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( u \right )e^{-j\left ( \frac{\omega}{a} \right ) u }du=-\frac{1}{a}X\left ( -\frac{\omega }{a} \right )}$$
因此，
$$\mathrm{F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=\frac{1}{\left | a \right |}X\left ( \frac{\omega }{a} \right )}$$
或者，它也可以表示为：
$$\mathrm{x\left ( at \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{\left | a \right |}X\left ( \frac{\omega }{a} \right )}$$
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