连续时间傅里叶级数的时移、时间反转和时间尺度特性

傅里叶级数

如果 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 的周期函数，则该函数的连续时间指数傅里叶级数定义为：

$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}… (1)}$$

其中，$C_{n}$ 是指数傅里叶级数系数，由下式给出：

$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt… (2)}$$

傅里叶级数的时移特性

设 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 且傅里叶级数系数为 $C_{n}$ 的周期函数。那么，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

则连续时间傅里叶级数的时移特性指出：

$$\mathrm{x(t-t_{0})\overset{FS}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0} t_{0}}C_{n}}$$

证明

根据连续时间傅里叶级数的定义，我们得到：

$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}…(3)}$$

在公式 (3) 中用 $(t− t_{0})$ 替换 $t$，我们得到：

$$\mathrm{x(t− t_{0})=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}(t− t_{0})}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t− t_{0})=\sum_{n=−\infty}^{\infty}(C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}})e^{jn\omega_{0}t}… (4)}$$

$$\mathrm{∵\:\sum_{n=−\infty}^{\infty}(C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}})e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}]… (5)}$$

根据公式 (4) 和 (5)，我们得到：

$$\mathrm{x(t− t_{0})\overset{FT}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}C_{n}\:\:(证毕)}$$

傅里叶级数的时间反转特性

设 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 且傅里叶级数系数为 $C_{n}$ 的周期函数。那么，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

那么，连续时间傅里叶级数的时间反转特性指出：

$$\mathrm{x(-t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{-n}}$$

证明

根据连续时间傅里叶级数的定义，我们得到：

$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}… (6)}$$

在公式 (6) 中用 $(−t)$ 替换 $t$，我们得到：

$$\mathrm{x(-t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} (-t)}… (7)}$$

在公式 (7) 的右边将 $(n = −k)$ 代入，我们得到：

$$\mathrm{x(-t)=\sum_{k=−\infty}^{-\infty}C_{-k}e^{j(-k)\omega_{0}(-t)}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:x(-t)=\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{-k}e^{jk\omega_{0}t}… (8)}$$

现在，在公式 (8) 中将 $(k= n)$ 代入，我们得到：

$$\mathrm{x(-t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{-k}e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[C_{-n}]}$$

$$\mathrm{\therefore\:x(-t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{-n}\:\:(证毕)}$$

傅里叶级数的时间尺度特性

设 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 且傅里叶级数系数为 $C_{n}$ 的周期函数。那么，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

那么，连续时间傅里叶级数的时间尺度特性指出：

$$\mathrm{x(at)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:with\:\omega_{0}\rightarrow\:a\omega_{0}}$$

证明

根据连续时间傅里叶级数的定义，我们得到：

$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}… (9)}$$

在公式 (9) 中用 $(at)$ 替换 $t$，我们得到：

$$\mathrm{x(at)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} at}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:x(at)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn(a\omega_{0}) t}=FS^{-1}[C_{n}]… (10)}$$

因此，

$$\mathrm{x(at)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:with\:\omega \rightarrow a\omega_{0}\:\:(证毕)}$$

Manish Kumar Saini

更新于： 2021年12月6日

2K+ 次查看

启动你的 职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习