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法律研究拉普拉斯变换的时间尺度和频移特性
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。
数学上，如果x(t)是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：
L[x(t)]=X(s)=∫∞−∞x(t)e−stdt...(1)
公式 (1) 给出了函数 x(t) 的双边拉普拉斯变换。但是对于因果信号，应用单边拉普拉斯变换，其定义为：
L[x(t)]=X(s)=∫∞0x(t)e−stdt...(2)
拉普拉斯变换的时间尺度特性
陈述 - 拉普拉斯变换的时间尺度特性指出，如果：
x(t)LT↔X(s)
那么
x(at)LT↔1|a|X(sa)
证明
根据拉普拉斯变换的定义，我们有：
L[x(t)]=∫∞0x(t)e−stdt
如果 t→at，则
L[x(at)]=∫∞0x(at)e−stdt
将 at = p 代入上述方程的 RHS，则
t=paanddt=1adp
∴L[x(at)]=∫∞0x(p)e−(sa)pdpa
⇒L[x(at)]=1a∫∞0x(p)e−(sa)pdp=1aX(sa)
拉普拉斯变换的这种表达式对因子 a 的所有值均有效。因此，可以写成
L[x(at)]=1|a|X(sa)
或者也可以表示为：
x(at)LT↔1|a|X(sa)
因此，它证明了拉普拉斯变换的时间尺度特性。
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拉普拉斯变换的频移特性
陈述 - 拉普拉斯变换的频移特性指出，乘以复指数 e−at 会在 s 域中引入 'a' 的偏移。因此，如果：
x(t)LT↔X(s)
那么，根据频移特性，
e−atx(t)LT↔X(s+a)
证明
根据拉普拉斯变换的定义，我们有：
L[x(t)]=∫∞0x(t)e−stdt
⇒L[e−atx(t)]=∫∞0e−atx(t)e−stdt
∴L[e−atx(t)]=X(s+a)
或者也可以写成：
e−atx(t)LT↔X(s+a)
类似地，如果函数 x(t) 乘以复指数 eat𝑡，则
eatx(t)LT↔X(sa)
数值示例
利用拉普拉斯变换的性质，求函数 x(t)=e−6tsin20atu(t) 的拉普拉斯变换。
解答
给定信号为：
x(t)=e−6tsin(20at)u(t)
∵L[sinatu(t)]=as2+a2
现在，利用拉普拉斯变换的时间尺度特性 [i.e.,x(at)LT↔1|a|X(sa)]，我们得到：
L[sin(20at)u(t)]=1|20|L[sinatu(t)]=120[a(s20)2+a2]
⇒L[sin(20at)u(t)]=20as2+(20a)2
利用拉普拉斯变换的频移特性 [i.e,e−atx(t)LT↔X(s+a)]，我们得到：
L[e−6tsin(20at)u(t)]=[20as2+(20a)2]s=s+6=20a(s+6)2+(20a)2
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