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法律研究拉普拉斯变换的时移特性
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。
数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是一个时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
公式 (1) 给出了函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，则应用单边拉普拉斯变换，其定义为：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
拉普拉斯变换的时移特性
陈述 - 拉普拉斯变换的时移特性指出，时域中 t0 的位移对应于s域中复指数 $\mathit{e}^{-\mathit{st_{\mathrm{0}}}}$ 的乘法。因此，如果
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$
那么，根据时移特性，
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t-t_{\mathrm{0}}}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{e^{\mathit{-st_{\mathrm{0}}}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}}$$
证明
根据拉普拉斯变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$
如果
$$\mathrm{\mathit{t}\to \mathrm{\left( \mathit{t-t_{\mathrm{0}}}\right )}}$$
那么
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t-t_{\mathrm{0}}}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0} }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t-t_{\mathrm{0}}}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$
在上述方程的 RHS 中用 $\mathrm{\left(\mathit{t-t_{\mathrm{0}}}\right)}$ 替换为 u。 那么，
$$\mathrm{\mathit{t}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\mathit{u\mathrm{+}t_{\mathrm{0}}}\right)}\:\mathrm{and}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\mathit{du}}$$
$$\mathrm{\therefore\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t-t_{\mathrm{0}}}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0} }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{u}\right)}\mathit{e^{-s \mathrm{\left( \mathit{u+t_{0}} \right )}}\:\mathit{du}} \:\mathrm{=}\:\mathit{e^{\mathit{-st_{\mathrm{0}}}}\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{u}\right)}\mathit{e^{-su}}\:\mathit{du}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t-t_{\mathrm{0}}}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-st_{\mathrm{0}}}}\int_{\mathit{-\infty }}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{u}\right)}\mathit{e^{-su}}\:\mathit{du}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-st_{\mathrm{0}}}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t-t_{\mathrm{0}}}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{e^{\mathit{-st_{\mathrm{0}}}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}}$$
类似地，如果 $\mathit{t} \to \mathrm{\left(\mathit{t\:\mathrm{+}\:t_{\mathrm{0}}}\right)}$ 那么，
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t\:\mathrm{+}\:t_{\mathrm{0}}}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{e^{\mathit{st_{\mathrm{0}}}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}}$$
因此，它证明了 t0 的时移对应于s域中复指数 $\mathit{e}^{-\mathit{st_{\mathrm{0}}}} $ 的乘法。
数值示例
使用拉普拉斯变换的时移特性，求信号 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{u}\mathrm{\left ( \mathit{t-\mathrm{5}} \right )}$ 的拉普拉斯变换。
解答
给定的信号为：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{u}\mathrm{\left ( \mathit{t-\mathrm{5}}\right)}}$$
单位阶跃函数的拉普拉斯变换由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left [\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathit{s}}}$$
因此，通过使用 LT 的时移特性 $\mathrm{\left [ i.e.,\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t-t_{\mathrm{0}}}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{e}^{-\mathit{st_{\mathrm{0}}}} \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\right ]}$，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left [\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t-\mathrm{5}}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-\mathrm{5\mathit{s}}}}\mathit{L}\mathrm{\left [\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{e^{-\mathrm{5\mathit{s}}}}}{\mathit{s}}}$$
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