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法学Z变换的时域扩展性质
Z变换
Z变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为z域中的代数方程。数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是一个离散时间函数，则其Z变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
Z变换的时域扩展性质
说明 – Z变换的时域扩展性质指出，如果
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( z \right );\; \; \; \mathrm{ROC}\to \mathit{R}}} $$
那么
$$\mathrm{\mathit{x_{m}\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( z^{m} \right );\; \; \; \mathrm{ROC}\to \mathit{R}^{\mathrm{1}/m}}} $$
其中，
$$\mathrm{\mathit{x_{m}\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }\left\{\begin{matrix} x\left ( \frac{n}{m} \right )\: ;&\mathrm{当\mathit{n}\,是\mathit{m}\,的整数倍时} \ \mathrm{0}; & \mathrm{否则} \ \end{matrix}\right. }} $$
此外，$\mathrm{\mathit{x_{m}\left ( n \right )}}$在原始信号的连续值之间插入了$\mathrm{\mathit{\left ( m-\mathrm{1} \right )}}$个零。
证明
根据Z变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ x_{m}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x_{m}\left ( n \right )z^{-n}\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( \frac{n}{m} \right )z^{-n}}}$$
在上述求和中代入(𝑛/𝑚) = 𝑘，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x_{m}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{k\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( k \right )z^{-mk}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Z\left [ x_{m}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{k\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( k \right )\left ( z^{m} \right )^{-k}\mathrm{\, =\, }X\left ( z^{m} \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore x_{m}\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( z^{m} \right );\; \; \; }ROC\to \mathit{R}^{\mathrm{1}/m}}$$
数值例子
利用Z变换的时域扩展性质，求信号$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }u\left ( \frac{n}{\mathrm{2}} \right )}}$的Z变换。
解答
给定的信号是：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }u\left ( \frac{n}{\mathrm{2}} \right )}}$$
由于单位阶跃序列的Z变换为：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ u\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\frac{z}{z-\mathrm{1}};\; \; \mathrm{ROC}\to \left|z \right|>}1}$$
因此，利用Z变换的时域扩展性质[即，$\mathrm{\mathit{x_{m}\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( z^{m} \right )}}$]，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ u\left ( \frac{n}{\mathrm{2}} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\left [ \frac{z}{z-\mathrm{1}} \right ]_{z\mathrm{\, =\, }z^{\mathrm{2}}}\mathrm{\, =\, }\frac{z^{\mathrm{2}}}{\left ( Z^{\mathrm{2}}-\mathrm{1} \right )}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore u\left ( \frac{n}{\mathrm{2}} \right ) \overset{ZT}{\leftrightarrow}\frac{z^{\mathrm{2}}}{\left ( Z^{\mathrm{2}}-\mathrm{1} \right )};}\mathrm{ROC}\; \; \to \left|z \right|> \left ( \mathrm{1} \right )^{1/2}} $$
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