Z 变换的相关性

Z 变换

Z 变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。

数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个离散时间函数，则其 Z 变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$

Z 变换的相关性

说明 - Z 变换的相关性指出，如果：

$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{and}\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$

那么

$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)}}$$

其中

$$\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{12}}\mathrm{\left ( \mathit{n} \right )}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$

证明

根据 Z 变换的定义，我们有：

$$\mathrm{\mathit{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathrm{\left[ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right ]}\mathit{z}^{-n}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$

两个信号的相关性定义为：

$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$

因此，根据公式 (1) 和 (2)，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)} \right ]}\mathit{z}^{-n}$$

重新排列求和顺序，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)}\mathit{z}^{-n} \right ]}}$$

现在，在第二个求和中将 $\mathrm{\left ( \mathit{k-n} \right )}\:\mathrm{=}\:\mathit{m}\:\mathrm{and}\:\mathit{n}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left ( \mathit{k-m} \right )}$ 代入，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{m=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{m}\right)}\mathit{z}^\mathrm{-\left(\mathit{k-m}\right)} \right ]}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{m=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{m}\right)}\mathit{z}^\mathrm{\mathit{-k}}\mathit{z}^\mathrm{\mathit{m}} \right ]}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[ \sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{z}^{-k}\right ]}\mathrm{\left [ \sum_{\mathit{m=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{m}\right)}\mathit{z}^\mathrm{\left(\mathrm{-1}\right)-\mathit{m}} \right ]}}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}^{\mathrm{-1}}\right)}}$$

此外，它可以表示为：

数值示例

使用 Z 变换的相关性，求 $\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}$ 的 Z 变换，其中：

$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{sin}\:\mathit{\omega n}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{and}\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$

解决方案

给定的序列是：

这两个序列的 Z 变换为：

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathrm{sin}\:\mathit{\omega n}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}\mathrm{sin}\:\mathit{\omega}}{\mathit{z}^{\mathrm{2}}-2\mathit{z}\mathrm{cos}\:\mathit{\omega}\mathrm{+1}}}$$

以及

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathit{z-\mathrm{1}}}}$$

现在，使用 Z 变换的相关性 $\mathrm{\left [ i.e,\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)} \right ]}$，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\frac{\mathit{z}\mathrm{sin}\:\mathit{\omega}}{\mathit{z}^{\mathrm{2}}-2\mathit{z}\mathrm{cos}\:\mathit{\omega}\mathrm{+1}}\right ]}\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}}{\mathit{z-\mathrm{1}}} \right ]}_{\mathit{z=z^{-\mathrm{1}}}}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\mathrm{\left[\frac{\mathit{z}\mathrm{sin}\:\mathit{\omega}}{\mathit{z}^{\mathrm{2}}-2\mathit{z}\mathrm{cos}\:\mathit{\omega}\mathrm{+1}}\right ]}\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z^{-\mathrm{1}}}}{\mathit{z^{-\mathrm{1}}-\mathrm{1}}} \right ]}}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}\mathrm{sin}\:\mathit{\omega}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}^{\mathrm{2}}-2\mathit{z}\mathrm{cos}\:\mathit{\omega}\mathrm{+1} \right )}\mathrm{\left ( 1-\mathit{z} \right )}}}$$

Saini Manish Kumar

更新于: 2022年1月24日

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