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法律研究Z 变换的相关性
Z 变换
Z 变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。
数学上，如果 x(n) 是一个离散时间函数，则其 Z 变换定义为：
Z[x(n)]=X(z)=∞∑n=−∞x(n)z−n
Z 变换的相关性
说明 - Z 变换的相关性指出，如果：
x1(n)ZT↔X1(z)andx2(n)ZT↔X2(z)
那么
x1(n)⊗x2(n)ZT↔X1(z)X2(z−1)
其中
R12(n)=x1(n)⊗x2(n)
证明
根据 Z 变换的定义，我们有：
Z[x(n)]=X(z)=∞∑n=−∞x(n)z−n
∴Z[x1(n)⊗x2(n)]=∞∑n=−∞[x1(n)⊗x2(n)]z−n...(1)
两个信号的相关性定义为：
x1(n)⊗x2(n)=∞∑k=−∞x1(k)x2(k−n)=∞∑k=−∞x1(k−n)x2(k)...(2)
因此，根据公式 (1) 和 (2)，我们得到：
Z[x1(n)⊗x2(n)]=∞∑n=−∞[∞∑k=−∞x1(k)x2(k−n)]z−n
重新排列求和顺序，我们得到：
Z[x1(n)⊗x2(n)]=∞∑k=−∞x1(k)[∞∑n=−∞x2(k−n)z−n]
现在，在第二个求和中将 (k−n)=mandn=(k−m) 代入，我们得到：
Z[x1(n)⊗x2(n)]=∞∑k=−∞x1(k)[∞∑m=−∞x2(m)z−(k−m)]
⇒Z[x1(n)⊗x2(n)]=∞∑k=−∞x1(k)[∞∑m=−∞x2(m)z−kzm]
⇒Z[x1(n)⊗x2(n)]=[∞∑k=−∞x1(k)z−k][∞∑m=−∞x2(m)z(−1)−m]
∴Z[x1(n)⊗x2(n)]=X1(z)X2(z−1)
此外，它可以表示为：
x1(n)⊗x2(n)ZT↔X1(z)X2(z−1)
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数值示例
使用 Z 变换的相关性，求 [x1(n)⊗x2(n)] 的 Z 变换，其中：
x1(n)=sinωnu(n)andx2(n)=u(n)
解决方案
给定的序列是：
x1(n)=sinωnu(n)andx2(n)=u(n)
这两个序列的 Z 变换为：
Z[x1(n)]=X1(z)=Z[sinωnu(n)]=zsinωz2−2zcosω+1
以及
Z[x2(n)]=X2(z)=Z[u(n)]=zz−1
现在，使用 Z 变换的相关性 [i.e,x1(n)⊗x2(n)ZT↔X1(z)X2(z−1)]，我们得到：
Z[x1(n)⊗x2(n)]=X1(z)X2(z−1)=[zsinωz2−2zcosω+1][zz−1]z=z−1
⇒Z[x1(n)⊗x2(n)]=[zsinωz2−2zcosω+1][z−1z−1−1]
∴Z[x1(n)⊗x2(n)]=zsinω(z2−2zcosω+1)(1−z)
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