Z变换和拉普拉斯变换的区别

Z变换

Z变换 (ZT) 是一种数学工具，用于将时域中的差分方程转换为z域中的代数方程。

在数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一个离散时间信号或序列，那么它的双边或双侧Z变换定义为−

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$

其中，z是一个复变量。

此外，单边或单侧z变换定义为−

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{n=\mathrm{0} }}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。

在数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是一个时域函数，那么它的拉普拉斯变换定义为−

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$

公式 (1) 给出了函数$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，应用单边拉普拉斯变换，其定义为−

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0} }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(4)}$$