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法学利用Z变换求解差分方程
Z变换
Z变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为z域中的代数方程。数学上，如果x(n)是一个离散时间函数，则其Z变换定义为：
Z[x(n)]=X(z)=∞∑n=−∞x(n)z−n
利用Z变换求解差分方程
为了求解差分方程，首先通过Z变换将其转换为代数方程。然后，在z域中计算方程的解，最后通过反Z变换得到方程的时域解。
注意 − 系统的各种响应：
强迫响应 - 当忽略初始条件时，系统仅由输入引起的响应称为系统的强迫响应。
自然响应 - 忽略输入时，系统仅由初始条件引起的响应称为系统的自然响应。
总响应 - 系统同时考虑初始条件和输入引起的响应称为系统的总响应。
脉冲响应 - 当系统输入为单位脉冲信号时，系统的响应称为系统的脉冲响应。
阶跃响应 - 当系统输入为单位阶跃信号时，系统的响应称为系统的阶跃响应。
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数值示例
一个离散时间线性时不变 (LTI) 系统由以下差分方程描述：
y(n)−34y(n−1)+18y(n−2)=x(n)+x(n−1)
已知y(−1)=0 和 x(−2)=−1，求：
系统的自然响应
系统的强迫响应
解 (i) - 系统的自然响应：
由于系统的自然响应仅由初始条件决定。对于自然响应，x(n) = 0。因此，给定系统的差分方程变为：
y(n)−34y(n−1)+18y(n−2)=0
现在，对上述方程进行Z变换，得到：
Z[y(n)−34y(n−1)+18y(n−2)]=0
⇒Y(z)−34[z−1Y(z)+y(−1)]+18[z−2Y(z)+z−1y(−1)+y(−2)]=0
∵y(−1)=0andy(−2)=−1
∴−Y(z)(1−34z−1+18z−2)−18=0
∴Y(z)=18(1−34z−1+18z−2)=(18)z2(z2−34z+18)
⇒Y(z)=(18)z2(z−12)(z−14)
进行部分分式分解，得到：
Y(z)z=(18)z(z−12)(z−14)=A(z−12)+B(z−14)
⇒Y(z)z=14(z−12)−18(z−14)
∴Y(z)=z4(z−12)−z8(z−14)
现在，为了获得系统的自然响应，我们对等式两边进行反Z变换，即：
Z−1[Y(z)]=Z−1[z4(z−12)]−Z−1[z8(z−14)]
∴y(n)=14(12)nu(n)−18(14)nu(n)
这就是给定系统的自然响应（即由于初始条件引起的响应）。
解 (ii) - 系统的强迫响应：
考虑将单位阶跃序列应用于系统。然后，系统的强迫响应为阶跃响应。对于阶跃响应，x(n)=u(n)。
因此，系统的差分方程变为：
y(n)−34y(n−1)+18y(n−2)=u(n)+u(n−1)
由于系统的强迫响应仅由输入决定，即忽略初始条件。
对等式两边进行Z变换，得到：
Z[y(n)−34y(n−1)+18y(n−2)]=Z[u(n)+u(n−1)]
⇒Y(z)−34z−1Y(z)+18z−2Y(z)=zz−1+1z−1
⇒Y(z)(1−34z−1+18z−2)=z+1z−1
∴Y(z)=z+1(z−1)(1−34z−1+18z−2)=z2(z+1)(z−1)(z2−34z+18)
⇒Y(z)=z2(z+1)(z−1)(z−12)(z−14)
现在，进行部分分式分解，得到：
Y(z)z=z(z+1)(z−1)(z−12)(z−14)=A(z−1)+B(z−12)+C(z−14)
⇒Y(z)z=(163)(z−1)−6(z−12)+(53)(z−14)
∴Y(z)=163(zz−1)−6(zz−12)+53(zz−14)
现在，对上述方程等式两边进行反Z变换，得到：
Z−1[Y(z)]=163Z−1[zz−1]−6Z−1[zz−12]+53Z−1[zz−14]
∴y(n)=163u(n)−6(12)nu(n)+53(14)nu(n)
这就是给定系统的强迫响应（阶跃响应）。
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