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法学利用Z变换求解差分方程
Z变换
Z变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为z域中的代数方程。数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是一个离散时间函数，则其Z变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
利用Z变换求解差分方程
为了求解差分方程，首先通过Z变换将其转换为代数方程。然后，在z域中计算方程的解，最后通过反Z变换得到方程的时域解。
注意 − 系统的各种响应：
强迫响应 - 当忽略初始条件时，系统仅由输入引起的响应称为系统的强迫响应。
自然响应 - 忽略输入时，系统仅由初始条件引起的响应称为系统的自然响应。
总响应 - 系统同时考虑初始条件和输入引起的响应称为系统的总响应。
脉冲响应 - 当系统输入为单位脉冲信号时，系统的响应称为系统的脉冲响应。
阶跃响应 - 当系统输入为单位阶跃信号时，系统的响应称为系统的阶跃响应。
数值示例
一个离散时间线性时不变 (LTI) 系统由以下差分方程描述：
$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-\frac{3}{4}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\:+\:\frac{1}{8}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{2}}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}}$$
已知$\mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{-1}\right)}\:\mathrm{=}\:0$ 和 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{-2}\right)}\:\mathrm{=}\:-1$，求：
系统的自然响应
系统的强迫响应
解 (i) - 系统的自然响应：
由于系统的自然响应仅由初始条件决定。对于自然响应，$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ = 0。因此，给定系统的差分方程变为：
$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-\frac{3}{4}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\:+\:\frac{1}{8}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{2}}\right)}\:\mathrm{=}\:0}$$
现在，对上述方程进行Z变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-\frac{3}{4}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\:+\:\frac{1}{8}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{2}}\right)} \right ]}\mathrm{=}\:0}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}-\frac{3}{4}\mathrm{\left [ \mathit{z^{-\mathrm{1}}}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}+\mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{-1}\right)} \right ]}\:+\:\frac{1}{8}\mathrm{\left [ \mathit{z^{-\mathrm{2}}}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}+\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{-1}\right)} +\mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{-2}\right)}\right ]}\mathrm{=}\:0}$$
$$\mathrm{\because \mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{-1}\right)} \:=\:0\:and\:\mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{-2}\right)} \:=\:-1}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{-Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathrm{\left ( 1-\frac{3}{4}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}+\frac{1}{8}\mathit{z^{\mathrm{-2}}} \right )}-\frac{1}{8}\:=\:0}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:=\:\frac{\frac{1}{8}}{\mathrm{\left ( 1-\frac{3}{4}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}+\frac{1}{8}\mathit{z^{\mathrm{-2}}} \right )}}\:=\:\frac{\mathrm{\left ( \frac{1}{8} \right )}\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left ( \mathit{z^{\mathrm{2}}}-\frac{3}{4}\mathit{z} +\frac{1}{8}\right )}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{\left ( \frac{1}{8} \right )}\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{2} \right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{4} \right )}}}$$
进行部分分式分解，得到：
$$\mathrm{\frac{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{\left ( \frac{1}{8} \right )}\mathit{z}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{2} \right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{4} \right )}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{A}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{2} \right )}}\:+\:\frac{\mathit{B}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{4} \right )}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}\:\mathrm{=}\:\frac{\frac{1}{4}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{2} \right )}}\:-\:\frac{\frac{1}{8}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{4} \right )}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{4\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{2} \right )}}\:-\:\frac{\mathit{z}}{8\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{4}\right)}}}$$
现在，为了获得系统的自然响应，我们对等式两边进行反Z变换，即：
$$\mathrm{\mathit{Z}^{-1}\mathrm{\left [ \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \right ]}\:=\:\mathit{Z}^{-1}\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}}{4\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{2} \right )}} \right ]}\:-\:\mathit{Z}^{-1}\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}}{8\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{4} \right )}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{4}\mathrm{\left ( \frac{1}{2} \right )}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-\frac{1}{8}\mathrm{\left ( \frac{1}{4} \right )}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
这就是给定系统的自然响应（即由于初始条件引起的响应）。
解 (ii) - 系统的强迫响应：
考虑将单位阶跃序列应用于系统。然后，系统的强迫响应为阶跃响应。对于阶跃响应，$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$。
因此，系统的差分方程变为：
$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-\frac{3}{4}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\:+\:\frac{1}{8}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{2}}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:+\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}}$$
由于系统的强迫响应仅由输入决定，即忽略初始条件。
对等式两边进行Z变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-\frac{3}{4}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\:+\:\frac{1}{8}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{2}}\right)} \right ]}\:=\:\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:+\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}-\frac{3}{4}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{+}\:\frac{1}{8}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:=\:\frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-1}\:+\:\frac{1}{\mathit{z}-\mathrm{1}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathrm{\left ( 1-\frac{3}{4}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\mathrm{\, +\, }\frac{1}{8} \mathit{z^{-\mathrm{2}}}\right )}\:=\:\frac{\mathit{z}+1}{\mathit{z}-1}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:=\:\frac{\mathit{z}+1}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left ( 1-\frac{3}{4}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}+\frac{1}{8}\mathit{z^{-\mathrm{2}}} \right )}}\:=\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( \mathit{z} +1\right )}}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left ( \mathit{z^{\mathrm{2}}}-\frac{3}{4} \mathit{z}+\frac{1}{8}\right )}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:=\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( \mathit{z}+1 \right )}}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{2} \right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{4} \right )}}}$$
现在，进行部分分式分解，得到：
$$\mathrm{\frac{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}\:=\:\frac{\mathit{z\mathrm{\left ( \mathit{z}+1 \right )}}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{2} \right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{4} \right )}}\:=\:\frac{\mathit{A}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-1 \right )}}\:+\:\frac{\mathit{B}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{2} \right )}}\:+\:\frac{\mathit{C}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{4} \right )}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}\:=\:\frac{\mathrm{\left ( \frac{16}{3} \right )}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-1 \right )}}-\frac{6}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{2} \right )}}\:+\:\frac{\mathrm{\left ( \frac{5}{3} \right )}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}-\frac{1}{4} \right )}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:=\:\frac{16}{3}\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-1} \right )}-6\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-\frac{1}{2}} \right )}\:+\:\frac{5}{3}\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-\frac{1}{4}} \right )}}$$
现在，对上述方程等式两边进行反Z变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}^{-1}\mathrm{\left [ \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \right ]}\:=\:\frac{16}{3}\mathit{Z}^{-1}\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-1} \right ]}-6\mathit{Z}^{-1}\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-\frac{1}{2}} \right ]}\:+\:\frac{5}{3}\mathit{Z}^{-1}\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-\frac{1}{4}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{16}{3}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-6\mathrm{\left ( \frac{1}{2} \right )}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:+\:\frac{5}{3}\mathrm{\left ( \frac{1}{4} \right )}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
这就是给定系统的强迫响应（阶跃响应）。
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