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法律Z 变换的卷积性质
Z 变换
Z 变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。
数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个离散时间函数，则其 Z 变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
Z 变换的时间域卷积性质
陈述 - Z 变换的时间域卷积性质指出，两个离散时间序列卷积的 Z 变换等于其 Z 变换的乘积。因此，如果：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}_{1}}$$
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}_{2}}$$
那么，根据卷积性质：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}_{\mathrm{1}}\cap\mathit{R}_{\mathrm{2}} }$$
证明
两个序列的卷积定义为：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$
现在，根据 Z 变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z}^{-n}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left [\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathrm{\left [ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\mathit{z}^{-n}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)} \right ]}\mathit{z}^{-n}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\mathit{z}^{-k}\mathit{z}^{-\mathrm{\left ( \mathit{n-k} \right )}}}$$
重新排列求和顺序，我们得到：
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{z}^{-k}\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\mathit{z}^{-\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}}$$
在第二个求和中用 $\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{m}$ 替换，我们有：
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{z}^{-\mathit{k}}\sum_{\mathit{m=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{m}\right)}\mathit{z}^{-\mathrm{ \mathit{m}}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
或者也可以表示为
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}_{\mathrm{1}}\cap\mathit{R}_{\mathrm{2}}}$$
数值示例
使用 Z 变换的卷积性质，求以下信号的 Z 变换。
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathrm{\left(\frac{1}{5} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
解决方案
给定信号为：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathrm{\left(\frac{1}{5} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
令
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
取 Z 变换，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \:\mathrm{=}\:\mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathrm{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left( \mathit{z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\right )}};\:\mathrm{ROC} \rightarrow \left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{3}}$$
类似地，
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \:\mathrm{=}\:\mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathrm{\left(\frac{1}{5} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left( \mathit{z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}}\right )}};\:\mathrm{ROC} \rightarrow \left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{5}}$$
现在，使用 Z 变换的卷积性质 $\mathrm{\left [ i.e.,\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \right ]}$，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathrm{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathrm{\left(\frac{1}{5} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left( \mathit{z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\right )}}\frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left( \mathit{z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}}\right )}}}$$
给定序列的 Z 变换的收敛域为
$$\mathrm{\mathrm{ROC}\rightarrow \mathrm{\left [ \left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{3} \right]}\cap \mathrm{\left [ \left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{5} \right]}\:\mathrm{=}\:\left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{3}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathrm{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathrm{\left(\frac{1}{5} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left ( \mathit{z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right )}\mathrm{\left ( \mathit{z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}} \right )}};\:\mathrm{ROC}\to\:\left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{3}}$$
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