数据结构
网络
RDBMS
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理
化学
生物
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装设计
法律Z 变换的卷积性质
Z 变换
Z 变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。
数学上，如果 x(n) 是一个离散时间函数，则其 Z 变换定义为：
Z[x(n)]=X(z)=∞∑n=−∞x(n)z−n
Z 变换的时间域卷积性质
陈述 - Z 变换的时间域卷积性质指出，两个离散时间序列卷积的 Z 变换等于其 Z 变换的乘积。因此，如果：
x1(n)ZT↔X1(z);ROC=R1
x2(n)ZT↔X2(z);ROC=R2
那么，根据卷积性质：
x1(n)∗x2(n)ZT↔X1(z)X2(z);ROC=R1∩R2
证明
两个序列的卷积定义为：
x1(n)∗x2(n)=∞∑k=−∞x1(k)x2(n−k)
现在，根据 Z 变换的定义，我们有：
Z[x(n)]=∞∑n=−∞x(n)z−n
∴Z[x1(n)∗x2(n)]=X(z)=∞∑n=−∞[x1(n)∗x2(n)]z−n
⇒X(z)=∞∑n=−∞[∞∑k=−∞x1(k)x2(n−k)]z−n
⇒X(z)=∞∑n=−∞∞∑k=−∞x1(k)x2(n−k)z−kz−(n−k)
重新排列求和顺序，我们得到：
⇒X(z)=∞∑k=−∞x1(k)z−k∞∑n=−∞x2(n−k)z−(n−k)
在第二个求和中用 (n−k)=m 替换，我们有：
⇒X(z)=∞∑k=−∞x1(k)z−k∞∑m=−∞x2(m)z−m=X1(z)X2(z)
∴Z[x1(n)∗x2(n)]=X1(z)X2(z)
或者也可以表示为
x1(n)∗x2(n)ZT↔X1(z)X2(z);ROC=R1∩R2
Explore our latest online courses and learn new skills at your own pace. Enroll and become a certified expert to boost your career.
数值示例
使用 Z 变换的卷积性质，求以下信号的 Z 变换。
x(n)=(13)nu(n)∗(15)nu(n)
解决方案
给定信号为：
x(n)=(13)nu(n)∗(15)nu(n)
令
x(n)=x1(n)∗x2(n)
∴x1(n)=(13)nu(n)
取 Z 变换，我们得到：
Z[x1(n)]=X1(z)=Z[(13)nu(n)]
X1(z)=z(z−13);ROC→|z|>13
类似地，
Z[x2(n)]=X2(z)=Z[(15)nu(n)]
X2(z)=z(z−15);ROC→|z|>15
现在，使用 Z 变换的卷积性质 [i.e.,x1(n)∗x2(n)ZT↔X1(z)X2(z)]，我们得到：
Z[x(n)]=X1(z)X2(z)
∴Z[(13)nu(n)∗(15)nu(n)]=z(z−13)z(z−15)
给定序列的 Z 变换的收敛域为
ROC→[|z|>13]∩[|z|>15]=|z|>13
∴(13)nu(n)∗(15)nu(n)ZT↔z2(z−13)(z−15);ROC→|z|>13
12K+ 次查看
