拉普拉斯变换的时间卷积和乘法性质

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。

数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt\; \; \cdot \cdot \cdot\left ( \mathrm{1} \right ) }}$$

公式 (1) 给出了函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，则应用单边拉普拉斯变换，其定义为：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt\; \; \cdot \cdot \cdot\left ( \mathrm{2} \right ) }}$$

此外，拉普拉斯逆变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{L^{\mathrm{-1}}\left [X\left ( s \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}x\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\int_{\sigma -j\infty }^{\sigma \mathrm{\mathrm{\, +\,} }j\infty }X\left ( s \right )e^{st}\:ds\; \; \cdot \cdot \cdot\left ( \mathrm{3} \right ) }}$$

拉普拉斯变换的时间卷积性质

陈述 – 拉普拉斯变换的时间卷积性质指出，两个信号在时域中卷积的拉普拉斯变换等效于它们各自拉普拉斯变换的乘积。因此，如果

$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\:\: \mathrm{and}\:\, x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}}$$

那么，

$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )X_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}}$$

证明

如果 $\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )}}$ 和 $\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )}}$ 是两个时域因果信号，则它们的卷积定义为：

$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{t}x_{\mathrm{1}}\left ( t-\tau \right )x_{\mathrm{2}}\left ( \tau \right )d\tau }}$$

现在，根据拉普拉斯变换的定义，我们有：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\left [\int_{\mathrm{0}}^{t} x_{\mathrm{1}}\left ( t-\tau \right )x_{\mathrm{2}}\left ( \tau \right )d\tau \right ]e^{-st}dt}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\left [\int_{\mathrm{0}}^{\infty } x_{\mathrm{1}}\left ( t-\tau \right )x_{\mathrm{2}}\left ( \tau \right )d\tau \right ]e^{-st}dt}}$$

令 $\mathrm{\mathit{\left ( t-\tau \right )\mathrm{\, =\,}u,}}$ 则：

$$\mathrm{\mathit{t\mathrm{\, =\,}\left ( u\mathrm{\, +\,}\tau \right ) \: \mathrm{and}\: dt\mathrm{\, =\,}du}}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore L\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\ast\: x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\left [\int_{\mathrm{0}}^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( u \right )x_{\mathrm{2}}\left ( \tau \right )d\tau \right ]e^{-s\left ( u\mathrm{\, +\,}\tau \right )}}du}$$

重新排列积分，我们有：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\ast\: x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( u \right )e^{-su}du\int_{\mathrm{0}}^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left ( \tau \right )e^{-st}d\tau }}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore L\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\ast\: x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )X_{\mathrm{2}}\left ( s \right ) }}$$

或者可以表示为：

$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\ast\: x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )X_{\mathrm{2}}\left ( s \right ) }}$$

因此，它证明了拉普拉斯变换的时间卷积性质。

拉普拉斯变换的 s 域卷积性质

陈述 – s 域卷积性质，也称为拉普拉斯变换的乘法性质或调制性质。拉普拉斯变换的频域卷积性质指出，两个时域信号乘积的拉普拉斯变换等效于它们各自拉普拉斯变换的卷积。因此，如果

$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\: \overset{LT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\; \; \mathrm{and}\; \; x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{2}}\left ( s \right ) }}$$

那么，

$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\: x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\left [ X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\ast X_{\mathrm{2}}\left ( s \right ) \right ] }}$$

证明

$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )}}$ 的拉普拉斯逆变换为：

$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\int_{\left ( \sigma -j\infty \right )}^{\left (\sigma \mathrm{\, +\,}j\infty \right )}X_{\mathrm{1}}\left ( p \right )e^{pt}\, dp}}$$

因此，根据拉普拉斯变换的定义，我们有：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]e^{-st}\, dt}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }\left [ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\int_{\left ( \sigma -j\infty \right )}^{\left (\sigma \mathrm{\, +\,}j\infty \right )}X_{\mathrm{1}}\left ( p \right )e^{pt}\, dp \right ]x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )e^{-st}\, dt}}$$

重新排列积分顺序，我们有：

$$\mathrm{\mathit{ L\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\int_{\left ( \sigma -j\infty \right )}^{\left (\sigma \mathrm{\, +\,}j\infty \right )}X_{\mathrm{1}}\left ( p \right )\left [\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) e^{-\left ( s-p \right )t}\, dt \right ]\, dp}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{ L\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\int_{\left ( \sigma -j\infty \right )}^{\left (\sigma \mathrm{\, +\,}j\infty \right )}X_{\mathrm{1}}\left ( p \right )X_{\mathrm{2}}\left ( s-p \right )\, dp}}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{ L\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\left [ X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\ast X_{\mathrm{2}}\left ( s \right ) \right ]}}$$

或者也可以表示为：

$$\mathrm{\mathit{ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\left [ X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\ast X_{\mathrm{2}}\left ( s \right ) \right ]}}$$

因此，它证明了拉普拉斯变换的乘法性质或 s 域卷积性质。

数值示例 (1)

单个 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的拉普拉斯变换为：

$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{s\mathrm{\, +\,}\mathrm{3}}{s^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\mathrm{2}s\mathrm{\, +\,}\mathrm{1}}}}$$

然后，求 $\mathrm{\mathit{y\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( t \right )\ast x\left ( t \right )}}$ 的拉普拉斯变换。

解答

给定的 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的拉普拉斯变换为：

$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{s\mathrm{\, +\,}\mathrm{3}}{s^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\mathrm{2}s\mathrm{\, +\,}\mathrm{1}}}}$$

然后，$\mathrm{\mathit{y\left ( t \right )}}$ 的拉普拉斯变换，即 Y(s) 为：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ y\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}Y\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}L\left [ x\left ( t \right )\ast x\left ( t \right ) \right ]}}$$

现在，使用拉普拉斯变换的时间卷积性质 $\mathrm{\mathit{\left [\mathrm{i.e.,\: \: } x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )X_{\mathrm{2}}\left ( s \right ) \right ]}}$，我们有：

$$\mathrm{\mathit{Y\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\cdot X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\left [ X\left ( s \right ) \right ]^{\mathrm{2}}}}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore Y\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\left [ \frac{s\mathrm{\, +\,}\mathrm{3}}{s^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\mathrm{2}s\mathrm{\, +\,}\mathrm{1}} \right ]^{\mathrm{2}}}}$$

数值示例 (2)

使用拉普拉斯变换的 s 域卷积性质，求函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}\delta \left ( t \right )\, \mathrm{sin}\, \omega t}}$ 的拉普拉斯变换。

解答

给定函数为：

$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}\delta \left ( t \right )\, \mathrm{sin}\, \omega t}}$$

因为我们知道：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ \delta \left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\mathrm{1}\; \; \mathrm{and}\; \: L\left [ \mathrm{sin}\, \omega t \right ]\mathrm{\, =\,}\frac{\omega }{s^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\omega ^{\mathrm{2}}}}}$$

因此，通过使用拉普拉斯变换的 s 域卷积性质 {$\mathrm{\mathit{\mathrm{i.e.,\: \: } x_{\mathrm{1}}\left ( t \right ) x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j} \left [X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\ast X_{\mathrm{2}}\left ( s \right ) \right ]}}$}，我们有：

$$L\left [ \delta \left ( t \right )\mathrm{sin}\, \omega t \right ]\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\left ( \frac{\omega }{s^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\omega ^{\mathrm{2}}} \right )$$

Manish Kumar Saini

更新于： 2024-01-23

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