数据结构
网络
关系数据库管理系统(RDBMS)
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装学
法学周期函数的拉普拉斯变换（拉普拉斯变换的时间周期性特性）
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 *s* 域中的代数方程。
数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是一个时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$
公式(1)给出了函数$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，则应用单边拉普拉斯变换，其定义为：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{2} \right )}}$$
周期函数的拉普拉斯变换
周期函数的拉普拉斯变换可以通过使用时移特性来确定[$\mathrm{i.e.,\mathit{\, x\left ( t-T \right )\mathrm{\, =\,}e^{-sT}X\left ( s \right )}}$]。考虑一个因果周期函数$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$，它满足条件$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( t\mathrm{\, +\,}nT \right )}}$ 对于所有 t > 0，其中 T 是$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$的周期，n = 0, 1, 2,….
现在，根据拉普拉斯变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}dt\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{3} \right )}}$$
上述表达式也可以写成：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\int_{T}^{\mathrm{2}T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\int_{\mathrm{2}T}^{\mathrm{3}T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot \mathrm{\, +\,}\int_{nT}^{\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{1} \right )T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}e^{-st}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t\mathrm{\, +\,}T \right )e^{-st}dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{\, +\,}e^{-\mathrm{2}sT}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t\mathrm{\, +\,}\mathrm{2}T \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot }}$$
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{\, +\,}e^{-nsT}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t\mathrm{\, +\,}nT \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot \: \: \cdot \cdot \cdot \left(\mathrm{4} \right )}}$$
由于函数$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是一个周期函数，因此：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( t\mathrm{\, +\,}T \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( t\mathrm{\, +\,}\mathrm{2}T \right )\mathrm{\, =\,}\cdot \cdot \cdot}}$$
因此，公式(4)可以写成：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}e^{-st}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}e^{-\mathrm{2}st}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot }}$$
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{\, +\,}e^{-nst}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\left [ \mathrm{1}\mathrm{\, +\,}e^{-sT}\mathrm{\, +\,}e^{-\mathrm{2}sT}\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot \mathrm{\, +\,}e^{-nsT}\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot \right ]\int_{\mathrm{0}}^{T}x\left ( t \right )e^{-st}dt\; \; \left ( \mathrm{5} \right )}}$$
利用二项式级数展开，我们可以写成：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\left [ \mathrm{1}-e^{-sT} \right ]^{\mathrm{-1}}\int_{\mathrm{0}}^{T}x\left ( t \right )e^{-st}\, dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-sT} \right ]}X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{6} \right )}}$$
其中，
$$\mathrm{\mathit{X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{T}x\left ( t \right )e^{-st}\, dt\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{7} \right )}}$$
$\mathrm{\mathit{X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}}$是时间函数第一个周期的拉普拉斯变换。公式(6)表示拉普拉斯变换的周期性特性。
数值例子
使用拉普拉斯变换的周期性特性，求函数$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{sin}\, \pi t\, u\left ( t \right )}}$的拉普拉斯变换。
解答
给定函数为：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{sin}\, \pi t\, u\left ( t \right )}}$$
给定信号是一个周期信号，周期T为：
$$\mathrm{\mathit{T\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{2}\pi }{\omega }\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{2}\pi }{\pi }\mathrm{\, =\,}}2\: 秒}$$
现在，利用拉普拉斯变换的周期性特性，我们有：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\int_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\, \left ( \pi t \right )e^{-st}\, dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\int_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}\left ( \frac{e^{j\, \pi t}-e^{-j\, \pi t}}{\mathrm{2}j} \right )e^{-st}\, dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\left [\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}j} \left\{ \int_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}} e^{j\, \pi t}e^{-st}\, dt-\int_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}e^{-j\, \pi t}e^{-st}\, dt\right\} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\left [\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}j} \left\{ \int_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}} e^{-\left (s- j\, \pi \right ) t}\, dt-\int_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}e^{-\left ( s\mathrm{\, +\,}j\, \pi \right ) t}\, dt\right\} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}j}\left [ \frac{e^{-\left (s- j\, \pi \right ) t}}{-\left ( s-j\pi \right )}-\frac{e^{-\left ( s\mathrm{\, +\,}j\, \pi \right ) t}}{-\left ( s\mathrm{\, +\,}j\pi \right )} \right ]_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}\right\}}}$$
解出极限后，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}j}\left [ \frac{-\left ( s\mathrm{\, +\,}j\pi \right )\left [e^{-\mathrm{2}\left ( s-j\pi \right )t}-\mathrm{1} \right ]\mathrm{\, +\,}\left ( s-j\pi \right )\left [e^{-\mathrm{2}\left ( s\mathrm{\, +\,}j\pi \right )t}-\mathrm{1} \right ]}{s^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\pi ^{\mathrm{2}}} \right ] \right\}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\left [ \frac{\pi \left ( \mathrm{1}-e^{\mathrm{-2}s} \right )}{s^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\pi ^{\mathrm{2}}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\left [ \frac{\pi}{s^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\pi ^{\mathrm{2}}} \right ]}}$$
浏览量：13K+
