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法律研究阻尼正弦和余弦函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。在数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一个时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-st}}\:\mathit{dt}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
公式 (1) 给出了函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，则应用单边拉普拉斯变换，其定义为：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-st}}\:\mathit{dt}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
阻尼正弦函数的拉普拉斯变换
阻尼正弦函数由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{sin}\:\mathit{\omega t\:\mathit{u}\mathrm{\left( \mathit{t}\right)}}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-at}}\mathrm{\left( \frac{\mathit{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}}{2\mathit{j}} \right )}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right )}}$$
现在，根据拉普拉斯变换的定义，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{sin}\:\mathit{\omega t\:\mathit{u}\mathrm{\left( \mathit{t}\right)}}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{-at}}\mathrm{\left( \frac{\mathit{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}}{2\mathit{j}} \right )}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right )} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[\:\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{sin}\:\mathit{\omega t\:u\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}\right]}\:\mathrm{=}\frac{1}{2\mathit{j}}\mathit{L}\mathrm{\left[\mathrm{\left(\mathit{e^{-at}e^{j\omega t} -e^{-at}e^{-j\omega t}}\right)}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right )}\right]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[\:\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{sin}\:\mathit{\omega t\:u\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}\right]}\:\mathrm{=}\frac{1}{2\mathit{j}}\mathit{L}\mathrm{\left[\mathrm{\left(\mathit{e}^{-\mathrm{\left(\mathit{a-j\omega}\right)}\mathit{t}}- \mathit{e}^{-\mathrm{\left(\mathit{a\mathrm{+}j\omega}\right)}\mathit{t}} \right )}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right )}\right]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[\:\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{sin}\:\mathit{\omega t\:u\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}\right]}\:\mathrm{=}\frac{1}{2\mathit{j}}\mathrm{\left\{\mathit{L}\mathrm{\left [ \mathit{e}^{-\mathrm{\left(\mathit{a-j\omega}\right)}\mathit{t}}\mathit{u}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right )}\right]}- \mathit{L}\mathrm{\left [ \mathit{e}^{-\mathrm{\left(\mathit{a+j\omega}\right)}\mathit{t}}\mathit{u}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right )}\right]}\right\}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[\:\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{sin}\:\mathit{\omega t\:u\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}\right]}\:\mathrm{=}\frac{1}{2\mathit{j}}\mathrm{\left[\frac{1}{\mathit{s}+\mathrm{\left(\mathit{a-j\omega}\right)}}-\frac{1}{\mathit{s}+\mathrm{\left(\mathit{a\mathrm{+}j\omega}\right)}}\right]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[\:\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{sin}\:\mathit{\omega t\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}\right]}\:\mathrm{=}\frac{1}{2\mathit{j}}\mathrm{\left[\frac{1}{\mathrm{\left ( \mathit{s}\mathrm{+}\mathit{a}\right)}-\mathit{j\omega }}-\frac{1}{\mathrm{\left ( \mathit{s}\mathrm{+}\mathit{a}\right)}\mathrm{+}\mathit{j\omega }} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\frac{\mathit{\omega}}{\mathrm{\left(\mathit{s\mathrm{+}a}\right)^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{\omega}^{\mathrm{2}}}}\right]}}$$
阻尼正弦函数的拉普拉斯变换的收敛域 (ROC) 为 $\mathit{Re}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}$ > -a，如图 1 所示。因此，阻尼正弦函数的拉普拉斯变换及其 ROC 为：
$$\mathrm{\mathit{e}^{-\mathit{at}}\:\mathrm{sin}\:\mathit{\omega}t\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathrm{\left[\frac{\mathit{\omega}}{\mathrm{\left(\mathit{s\mathrm{+}a}\right)^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{\omega}^{\mathrm{2}}}}\right]};\:\mathrm{ROC}\to \mathrm{Re}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}>\:-\mathit{a}}$$
阻尼余弦函数的拉普拉斯变换
阻尼余弦函数由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{cos}\:\mathit{\omega t\:\mathit{u}\mathrm{\left( \mathit{t}\right)}}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-at}}\mathrm{\left( \frac{\mathit{e^{j\omega t}\mathrm{+}e^{-j\omega t}}}{2} \right )}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right )}}$$
根据拉普拉斯变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{cos}\:\mathit{\omega t\:\mathit{u}\mathrm{\left( \mathit{t}\right)}}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{-at}}\mathrm{\left( \frac{\mathit{e^{j\omega t}\mathrm{+}e^{-j\omega t}}}{2} \right )}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[\:\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{cos}\:\mathit{\omega t\:u\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}\right]}\:\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{\left\{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{-at}e^{j\omega t}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right )} \right]}\mathrm{+} \mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{-at}e^{-j\omega t}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right )} \right]}\right\}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{L}\mathrm{\left[\:\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{cos}\:\mathit{\omega t\:u\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}\right]}\:\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{\left\{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{-\mathrm{\left(\mathit{a-j\omega}\right)\mathit{t}}}\:\mathit{u}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}}\right ]}\mathrm{+}\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{-\mathrm{\left ( \mathit{a+j\omega} \right )\mathit{t}}}\:\mathit{u}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}}\right]}\right\}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[\:\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{cos}\:\mathit{\omega t\:u\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}\right]}\:\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{\left[\frac{1}{\mathit{s}+\mathrm{\left(\mathit{a-j\omega}\right)}}\mathrm{+}\frac{1}{\mathit{s}+\mathrm{\left(\mathit{a\mathrm{+}j\omega}\right)}}\right]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[\:\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{cos}\:\mathit{\omega t\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}\right]}\:\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{\left[\frac{1}{\mathrm{\left ( \mathit{s}\mathrm{+}\mathit{a}\right)}-\mathit{j\omega }}\mathrm{+}\frac{1}{\mathrm{\left ( \mathit{s}\mathrm{+}\mathit{a}\right)}\mathrm{+}\mathit{j\omega }} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\frac{\mathit{s+a}}{\mathrm{\left(\mathit{s\mathrm{+}a}\right)^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{\omega}^{\mathrm{2}}}}\right]}}$$
阻尼余弦函数的拉普拉斯变换的 ROC 也为 $\mathit{Re}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}$ > -a，如图 1 所示。因此，阻尼余弦函数的拉普拉斯变换及其 ROC 为：
$$\mathrm{\mathit{e}^{-\mathit{at}}\:\mathrm{cos}\:\mathit{\omega}t\:u\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathrm{\left[\frac{\mathit{s+a}}{\mathrm{\left(\mathit{s\mathrm{+}a}\right)^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{\omega}^{\mathrm{2}}}}\right]};\:\mathrm{ROC}\to \mathrm{Re}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}>\:-\mathit{a}}$$
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