数据结构
网络
关系型数据库管理系统
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
时尚研究
法律研究阻尼正弦和余弦函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。在数学上，如果 x(t) 是一个时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：
L[x(t)]=X(s)=∫∞−∞x(t)e−stdt...(1)
公式 (1) 给出了函数 x(t) 的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，则应用单边拉普拉斯变换，其定义为：
L[x(t)]=X(s)=∫∞0x(t)e−stdt...(2)
阻尼正弦函数的拉普拉斯变换
阻尼正弦函数由下式给出：
x(t)=e−atsinωtu(t)=e−at(ejωt−e−jωt2j)u(t)
现在，根据拉普拉斯变换的定义，我们得到：
X(s)=L[e−atsinωtu(t)]=L[e−at(ejωt−e−jωt2j)u(t)]
⇒L[e−atsinωtu(t)]=12jL[(e−atejωt−e−ate−jωt)u(t)]
⇒L[e−atsinωtu(t)]=12jL[(e−(a−jω)t−e−(a+jω)t)u(t)]
⇒L[e−atsinωtu(t)]=12j{L[e−(a−jω)tu(t)]−L[e−(a+jω)tu(t)]}
⇒L[e−atsinωtu(t)]=12j[1s+(a−jω)−1s+(a+jω)]
⇒L[e−atsinωtu(t)]=12j[1(s+a)−jω−1(s+a)+jω]=[ω(s+a)2+ω2]
阻尼正弦函数的拉普拉斯变换的收敛域 (ROC) 为 Re(s) > -a，如图 1 所示。因此，阻尼正弦函数的拉普拉斯变换及其 ROC 为：
e−atsinωtu(t)LT↔[ω(s+a)2+ω2];ROC→Re(s)>−a
Explore our latest online courses and learn new skills at your own pace. Enroll and become a certified expert to boost your career.
阻尼余弦函数的拉普拉斯变换
阻尼余弦函数由下式给出：
x(t)=e−atcosωtu(t)=e−at(ejωt+e−jωt2)u(t)
根据拉普拉斯变换的定义，我们有：
X(s)=L[e−atcosωtu(t)]=L[e−at(ejωt+e−jωt2)u(t)]
⇒L[e−atcosωtu(t)]=12{L[e−atejωtu(t)]+L[e−ate−jωtu(t)]}
⇒L[e−atcosωtu(t)]=12{L[e−(a−jω)tu(t)]+L[e−(a+jω)tu(t)]}
⇒L[e−atcosωtu(t)]=12[1s+(a−jω)+1s+(a+jω)]
⇒L[e−atcosωtu(t)]=12[1(s+a)−jω+1(s+a)+jω]=[s+a(s+a)2+ω2]
阻尼余弦函数的拉普拉斯变换的 ROC 也为 Re(s) > -a，如图 1 所示。因此，阻尼余弦函数的拉普拉斯变换及其 ROC 为：
e−atcosωtu(t)LT↔[s+a(s+a)2+ω2];ROC→Re(s)>−a
1K+ 次查看
