斜坡函数和抛物线函数的拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。

数学上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 是一个时域函数，那么它的拉普拉斯变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}X\left ( s \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\; dt\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$

公式 (1) 给出了函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的双边拉普拉斯变换。但是对于因果信号，应用单边拉普拉斯变换，其定义为：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}X\left ( s \right )\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\; dt\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{2} \right )}}$$

斜坡函数的拉普拉斯变换

斜坡函数定义为：

$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}\mathrm{=}\mathit{t\, u\left ( t \right )}}$$

因此，根据拉普拉斯变换的定义，我们有：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ t\, u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }t\, u\left ( t \right )e^{-st}\; dt}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t\, u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }t\, e^{-st}\; dt}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t\, u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\left [ \frac{t\, e^{-st}}{-s} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }-\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\left ( \mathrm{1} \right )\frac{e^{-st}}{-s}dt }}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t\, u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\mathrm{0}-\left [ \frac{e^{-st}}{s^{\mathrm{2}}} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathrm{=}\left ( \mathrm{0} -\frac{\mathrm{1}}{s^{\mathrm{2}}}\right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{s^{\mathrm{2}}}}}$$

斜坡函数 $\mathrm{\mathit{\left [ tu\left ( t \right ) \right ]}}$ 的拉普拉斯变换的收敛域 (ROC) 为 𝑅𝑒(𝑠) > 0，如图 1 所示。因此，斜坡函数的拉普拉斯变换及其收敛域为：

$$\mathrm{\mathit{t\, u\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{s^{\mathrm{2}}} }\;\;\;and\;\;\;ROC\rightarrow Re\left ( \mathit{s} \right )>\mathrm{0}}$$

抛物线函数的拉普拉斯变换

抛物线函数定义为：

$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right )}}$$

现在，根据拉普拉斯变换的定义，我们有：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right )e^{-st}\: dt}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }t^{\mathrm{2}}\, e^{-st}\: dt\mathrm{=}\left [ \frac{t^{\mathrm{2}}e^{-st}}{-s} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }-\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\left ( \mathrm{2}t \right )\frac{e^{-st}}{-s}dt }}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{\mathrm{+}}\frac{\mathrm{2}}{s}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }t\, e^{-st}\: dt}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{s}\left\{\left [ \frac{te^{-st}}{-s} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }-\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\left ( \mathrm{1} \right )\frac{e^{-st}}{-s} \: dt\right\}}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{s}\left\{\mathrm{0}-\left [ \frac{e^{-st}}{s^{\mathrm{2}}} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty } \right\}\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{s^{\mathrm{3}}}\left [ e^{-st} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }}}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{L\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{s^{\mathrm{3}}}}}$$

抛物线函数 $\mathrm{\mathit{\left [ t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right ) \right ]}}$ 的拉普拉斯变换的 ROC 也为 𝑅𝑒(𝑠) > 0，如图 1 所示。因此，抛物线函数的拉普拉斯变换及其 ROC 为：

$$\mathrm{ \mathit{t^{\mathrm{2}}u\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{2}}{s^{\mathrm{3}}}\; \; \; \mathrm{and\; \; \; ROC\to Re\left ( \mathit{s} \right )>0}}}$$

Manish Kumar Saini

更新于: 2022-01-03

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