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法学矩形函数的傅里叶变换
傅里叶变换
连续时间函数$x(t)$的傅里叶变换定义为：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt}$$
矩形函数的傅里叶变换
考虑图1所示的矩形函数。
其定义为：
$$\mathrm{rect\left(\frac{t}{τ}\right)=\prod\left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}1 & for\:|t|≤ \left(\frac{τ}{2}\right)\0 & otherwise\end{cases}}$$
已知
$$\mathrm{x(t)=\prod\left(\frac{t}{τ}\right)}$$
因此，根据傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{F\left[\prod\left(\frac{t}{τ}\right) \right]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt=\int_{−\infty}^{\infty}\prod\left(\frac{t}{τ}\right)e^{-j\omega t}\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−(τ/2)}^{(τ/2)}1\cdot e^{-j\omega t}\:dt=\left[\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} \right]_{-τ/2}^{τ/2}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[ \frac{e^{-j\omega (τ/2)}-e^{j\omega (τ/2)}}{-j\omega}\right]=\left[ \frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{j\omega }\right]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[ \frac{2τ[e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}]}{j\omega\cdot (2τ) }\right]=\frac{τ}{\omega(τ/2)}\left[\frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{2j} \right]}$$
$$\mathrm{\because \:\left[\frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{2j} \right]=sin\:\omega (τ/2)}$$
$$\mathrm{\therefore\:X(\omega)=\frac{τ}{\omega(τ/2)}\cdot sin \omega (τ/2)=τ \left[\frac{sin\omega (τ/2)}{\omega (τ/2)}\right]}$$
$$\mathrm{\because\:sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)=\frac{sin\omega (τ/2)}{\omega (τ/2)}}$$
$$\mathrm{\therefore\:X(\omega)=τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$
因此，矩形函数的傅里叶变换为
$$\mathrm{F\left[\prod\left(\frac{t}{τ}\right)\right]=τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$
或者，也可以表示为：
$$\mathrm{\prod\left(\frac{t}{τ}\right) \overset{FT}{\leftrightarrow}τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$
矩形函数傅里叶变换的幅度和相位谱
矩形函数的幅度谱如下：
在$\omega=0$处
$$\mathrm{sinc\left(\frac{\omega τ}{2}\right)=1;\:\:\Rightarrow|X(\omega)|=τ}$$
在$\left(\frac{\omega τ}{2}\right)=± n\pi$，即在
$$\mathrm{\omega=±\frac{2n\pi}{τ},\:\:n=1,2,2,3,...}$$
$$\mathrm{sinc\left(\frac{\omega τ}{2}\right)=0}$$
相位谱如下：
$$\mathrm{\angle\:X(\omega)=\begin{cases}0 & if\:sinc\:\left(\frac{\omega τ}{2}\right)>0\±\pi & if\:sinc\:\left(\frac{\omega τ}{2}\right)<0 \end{cases}}$$
矩形函数的频谱如图2所示。
注意
第一次过零点之间的幅度响应称为**主瓣**。
$\omega\:< -\left( \frac{-2\pi}{τ}\right)$ 和 $\omega > \left( \frac{2\pi}{τ}\right)$ 的幅度响应部分称为**旁瓣**。
从幅度谱可以看出，信号的大部分能量都包含在主瓣中。
随着矩形脉冲宽度增加，主瓣变窄。
矩形函数的相位谱是频率(ω)的奇函数。
当幅度谱为正时，相位为零；当幅度谱为负时，相位为$(±\pi)$。
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