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法学傅里叶变换的时间微分性质
傅里叶变换
连续时间函数$x(t)$的傅里叶变换定义为：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
而傅里叶逆变换定义为：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d \omega}$$
傅里叶变换的时间微分性质
结论——傅里叶变换的时间微分性质指出，时域中函数的微分等价于频域中其傅里叶变换乘以因子$j\omega$。因此，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那么，根据时间微分性质，
$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdot X(\omega)}$$
证明
根据傅里叶逆变换的定义，我们有：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t} d\omega}$$
对等式两边求时间导数，得到：
$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)=\frac{d}{dt}\left [ \frac{1}{2\pi} \int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t} d\omega\right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{dt}x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)\frac{d}{dt}[e^{j\omega t}]d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)j\omega e^{j\omega t}d\omega}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{dt}x(t)=j\omega \left [\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega \right ]=j\omega\cdot F^{-1}[X(\omega)]}$$
因此，
$$\mathrm{F\left [ \frac{d}{dt}x(t) \right ]=j\omega\cdot X(\omega)}$$
或者，也可以表示为：
$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdot X(\omega)}$$
一般来说，n阶微分的时间微分性质由下式给出：
$$\mathrm{\frac{d^{n}}{(dt)^{n}}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}(j\omega)^{n}\cdot X(\omega)}$$
数值例子
利用傅里叶变换的时间微分性质，求$\left [ X(\omega)=\frac{j\omega}{(1+j\omega)^{2}} \right]$的傅里叶逆变换。
解答
已知
$$\mathrm{X(\omega)=\frac{j\omega}{(1+j\omega)^{2}}}$$
单边指数函数的傅里叶变换定义为：
$$\mathrm{F[t\:e^{-at}u(t)]=\frac{1}{(a+j\omega)^{2}}}$$
因此，对于给定函数(a=1)，我们有：
$$\mathrm{F[t\:e^{-t}u(t)]=\frac{1}{(1+j\omega)^{2}}}$$
设
$$\mathrm{x_{1}(t)=t\:e^{-t}u(t)}$$
那么
$$\mathrm{x_{1}(\omega)=\frac{1}{(1+j\omega)^{2}}}$$
现在，利用傅里叶变换的时间微分性质 $[i.e., \frac{d}{dt}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega \cdot X(\omega)] $，我们得到：
$$\mathrm{F\left [\frac{d}{dt}x_{1}(t)\right ]= j\omega \cdot X_{1}(\omega)}$$
因此，给定函数的傅里叶逆变换为：
$$\mathrm{F^{-1}[j\omega \cdot X_{1}(\omega)]=\frac{d}{dt}x_{1}(t)=\frac{d}{dt}[t\:e^{-t}u(t)]}$$
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