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法律研究连续时间傅里叶级数的时间微分和积分性质
傅里叶级数
如果 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 的周期函数，则该函数的连续时间指数傅里叶级数定义为：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}… (1)}$$
其中，$C_{n}$ 是指数傅里叶级数系数，由下式给出：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt… (2)}$$
傅里叶级数的时间微分性质
如果 $x(t)$ 是一个周期为 T 且傅里叶级数系数为 $C_{n}$ 的周期函数。如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那么，连续时间傅里叶级数的时间微分性质指出：
$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}\overset{FS}{\leftrightarrow}jn\omega_{0}C_{n}}$$
证明
根据连续时间傅里叶级数的定义，我们得到：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}… (3)}$$
对等式 (3) 两边进行时间微分，我们有：
$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\frac{d(e^{jn\omega_{0} t})}{dt}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}(jn\omega_{0})}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}(jn\omega_{0}C_{n})e^{jn\omega_{0} t}… (4)}$$
$$\mathrm{∵\: \sum_{n=−\infty}^{\infty}(jn\omega_{0}C_{n})e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[jn\omega_{0}C_{n}]… (5)}$$
从等式 (4) 和 (5) 中，我们得到：
$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}\overset{FT}{\leftrightarrow}jn\omega_{0}C_{n}\:\:(证毕)}$$
连续时间傅里叶级数的时间积分性质
如果 $x(t)$ 是一个周期为 T 且傅里叶级数系数为 $C_{n}$ 的周期函数。那么，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那么，连续时间傅里叶级数的时间积分性质指出：
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ\overset{FS}{\leftrightarrow}\frac{C_{n}}{jn\omega_{0}};\:\:C_{0}=0}$$
证明
根据连续时间傅里叶级数的定义，我们得到：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}… (6)}$$
对等式 (6) 两边进行时间积分，我们有：
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{\infty}x(τ)dτ=\int_{−\infty}^{t}\left [\sum_{n=−\infty}^{\infty} C_{n}\:e^{jn\omega_{0} τ}\right ]dτ}$$
重新排列积分和求和，我们得到：
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\int_{−\infty}^{t}e^{jn\omega_{0} τ}dτ}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left [ \frac{e^{jn\omega_{0} τ}}{jn\omega_{0}}\right ]_{−\infty}^{t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left [ \frac{e^{jn\omega_{0} t}}{jn\omega_{0}}-\frac{e^{−\infty}}{jn\omega_{0} } \right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left (\frac{e^{jn\omega_{0} t}}{jn\omega_{0}} \right )=\sum_{n=−\infty}^{\infty}\left ( \frac{C_{n}}{jn\omega_{0}} \right )e^{jn\omega_{0} t}… (7)}$$
$$\mathrm{∵\sum_{n=−\infty}^{\infty}\left ( \frac{C_{n}}{jn\omega_{0} } \right )e^{jn\omega_{0} t}=FS^{-1}\left ( \frac{C_{n}}{jn\omega_{0} } \right )… (8)}$$
因此，从等式 (7) 和 (8) 中，我们得到：
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ\overset{FS}{\leftrightarrow}\frac{C_{n}}{jn\omega_{0}};\:\:C_{0}=0\:\:(证毕)}$$
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