离散时间傅里叶变换的线性、周期性和对称性

离散时间傅里叶变换

离散时间序列的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换 (DTFT)。数学上，离散时间序列$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$的离散时间傅里叶变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{F\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )e^{-j\, \omega n}}}$$

离散时间傅里叶变换的线性性质

叙述 – 离散时间傅里叶变换的线性性质指出，两个离散时间序列的加权和的DTFT等于各个离散时间傅里叶变换的加权和。因此，如果

$$\mathrm{\mathit{F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right ) \right ]\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\: \: \mathrm{和}\: \: F\left [ x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right ) }}$$

那么，

$$\mathrm{\mathit{F\left [a\, x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\mathrm{\, +\, }b\,x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }a\, X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\mathrm{\, +\, }b\, X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right ) }}$$

证明

根据离散时间傅里叶变换的定义，我们有：

$$\mathrm{\mathit{F\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )e^{-j\, \omega n}}}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [a\, x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\mathrm{\, +\, }b\,x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }\left [ a\, x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\mathrm{\, +\, }b\, x_{\mathrm{2}}\left (n \right ) \right ]e^{-j\, \omega n} }}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow F\left [a\, x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\mathrm{\, +\, }b\,x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }a\, x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )e^{-j\, \omega n}\mathrm{\, +\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty } b\, x_{\mathrm{2}}\left ( n \right )e^{-j\, \omega n}}}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [a\, x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\mathrm{\, +\, }b\,x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }a\, X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\mathrm{\, +\, }b\, X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right ) }}$$

离散时间傅里叶变换的周期性

离散时间傅里叶变换的周期性指出，DTFT X(𝜔)关于𝜔是周期性的，周期为2π，即

$$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }X\left ( \omega \mathrm{\, +\, }\mathrm{2}n\pi \right )}}$$

因此，利用DTFT的周期性，我们只需要分析X(𝜔)的一个周期，而不需要整个范围 −∞ < 𝜔 < ∞。

离散时间傅里叶变换的对称性

离散时间傅里叶变换 (DTFT) X(𝜔)是𝜔的复函数，因此可以表示为：

$$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }X_{r}\left ( \omega \right )\mathrm{\, +\, }j\, X_{i}\left ( \omega \right )}}$$

其中，

• $\mathrm{\mathit{X_{r}\left ( \omega \right )}}$ 是 $\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )}}$ 的实部，并且

• $\mathrm{\mathit{X_{i}\left ( \omega \right )}}$ 是 $\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )}}$ 的虚部。

现在，根据DTFT的定义，我们有：

$$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )e^{-j\, \omega n}}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{cos}\, \omega n-j\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{sin}\, \omega n}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X_{r}\left ( \omega \right )\mathrm{\, +\, }j\, X_{i}\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{cos}\, \omega n-j\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{sin}\, \omega n}}$$

比较左右两侧，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{ X_{r}\left ( \omega \right ) \mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{cos}\, \omega n}}$$

并且，

$$\mathrm{\mathit{X_{i}\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }-\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{sin}\, \omega n}}$$

$$\mathrm{\mathit{\because \mathrm{cos}\left ( -\omega \right )n\mathrm{\, =\, }\mathrm{cos}\, \omega n\: \: \mathrm{和}\: \: \mathrm{sin}\left ( -\omega \right )n\mathrm{\, =\, }-\mathrm{sin}\, \omega n }}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore X_{r}\left ( -\omega \right ) \mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{cos}\, \left ( -\omega \right ) n\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{cos}\, \omega n}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X_{r}\left ( -\omega \right ) \mathrm{\, =\, }X_{r}\left ( \omega \right )}}$$

即，DTFT $\mathrm{\mathit{X_{r}\left ( \omega \right )}}$ 的实部是𝜔的偶函数，即它具有偶对称性。

同样地，

$$\mathrm{\mathit{X_{i}\left ( -\omega \right )\mathrm{\, =\, }-\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{sin}\left ( -\omega \right ) n\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{sin}\,\omega n}}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore X_{i}\left ( -\omega \right )\mathrm{\, =\, }-X_{i}\left ( \omega \right )}}$$

因此，DTFT $\mathrm{\mathit{X_{i}\left (\omega \right )}}$ 的虚部是𝜔的奇函数，即它具有奇对称性。

Saini Manish Kumar

更新于：2022年1月29日

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