拉普拉斯变换 – 时间反转、共轭和共轭对称特性

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。

在数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt }}$$

拉普拉斯变换的时间反转特性

陈述 – 拉普拉斯变换的时间反转特性指出，如果信号在时域中关于原点垂直轴反转，则其拉普拉斯变换在 s 域中也关于垂直轴反转。因此，如果

$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X\left ( s \right )}}$$

那么，

$$\mathrm{\mathit{x\left ( -t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X\left ( -s \right )}}$$

证明

根据拉普拉斯变换的定义，我们可以写成：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt }}$$

现在，通过代入$\mathrm{\mathit{t\mathrm{\, =\,}\left ( -t \right )}}$，我们有：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( -t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( -t \right )e^{-st}\:dt }}$$

在上述等式的右边令$\mathrm{\mathit{\left ( -t \right )\mathrm{\, =\,}u}}$，则$\mathrm{\mathit{dt\mathrm{\, =\,}du}}$，

$$\mathrm{\mathit{\therefore L\left [ x\left ( -t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( u \right )e^{su}\:du }}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [ x\left ( -t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( u \right )e^{-\left ( -s \right )u}\:du\mathrm{\, =\,}X\left ( -s \right ) }}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore x\left ( -t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X\left ( -s \right ) }}$$

因此，它证明了拉普拉斯变换的时间反转特性。

拉普拉斯变换的共轭特性

陈述 – 拉普拉斯变换的共轭特性指出，对于复函数$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$，如果

$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X\left ( s \right ) }}$$

那么，

$$\mathrm{\mathit{x^{\ast }\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right ) }}$$

证明

根据拉普拉斯变换的定义，我们有：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x^{\ast }\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x^{\ast }\left ( t \right )e^{-st}\:dt}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [ x^{\ast }\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-\left ( s^{\ast } \right )t}\:dt \right ]^{\ast } \mathrm{\, =\,}\left [ X\left ( s^{\ast } \right ) \right ]^{\ast }}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [ x^{\ast }\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right )}}$$

或者它可以表示为：

$$\mathrm{\mathit{ x^{\ast }\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right )}}$$

拉普拉斯变换的共轭对称特性

陈述 – 拉普拉斯变换的共轭对称特性指出，如果：

$$\mathrm{\mathit{ x\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X\left ( s \right )}}$$

那么，根据共轭特性，我们得到：

$\mathrm{\mathit{ x^{\ast }\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right );}}$ 对于复数$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$

并且如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是实函数，那么根据共轭对称特性，我们有：

$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right )}}$$

证明

根据拉普拉斯变换的定义，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{X\left ( s^{\ast } \right )\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-\left ( s^{\ast } \right )t}\:dt }}$$

在上述等式的两边取共轭，我们有：

$$\mathrm{\mathit{X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right )\mathrm{\, =\,}\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-\left ( s^{\ast } \right )t}\:dt \right ]^{\ast }\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-\left ( s^{\ast } \right )^{\ast }t}\:dt }}$$

$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right )\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right ); }}$    其中，$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是实数

因此，根据拉普拉斯变换的共轭对称特性，

$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right )}}$$

Manish Kumar Saini

更新于: 2022年1月11日

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