信号与系统 – 拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。

在数学上，时域函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的拉普拉斯变换定义为 −

$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0} }^{\mathrm{\infty} }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$

其中，s 是一个复变量，由下式给出：

$\mathrm{\mathit{s}\:\mathrm{=}\:\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}}$

运算符 L 称为拉普拉斯变换运算符，它将时域函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 转换为频域函数 X(s)。

拉普拉斯变换的性质

下表突出显示了拉普拉斯变换的一些重要性质 −

性质	函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$	拉普拉斯变换 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}$
符号	$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$	$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$
符号	$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$	$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$
标量乘法	$\mathrm{\mathit{k}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$	$\mathrm{\mathit{k}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$
线性	$\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left( \mathit{t}\right)}}$	$\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{s }\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$
时移	$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t-t_{\mathrm{0}}}\right)}}$	$\mathrm{\mathit{e}^{- \mathit{t}_{\mathrm{0}}\mathit{s}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$
频移	$\mathrm{\mathit{e}^{\mathit{-at}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$	$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s\mathrm{+}}\mathit{a} \right)}}$
时间缩放	$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}}$	$\mathrm{\frac{1}{\left\| \mathit{a}\right\|}\mathit{X}\mathrm{\left ( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}}\right)}}$
时域微分	$\mathrm{\frac{\mathit{d}}{\mathit{dt}}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$	$\mathrm{\mathit{s}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}}$
	$\mathrm{\frac{\mathit{d}^{\mathrm{2}}}{\mathit{dt}^{\mathrm{2}}}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$	$\mathrm{\mathit{s}^{\mathrm{2}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}-\mathit{s}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}-\frac{\mathit{d}}{\mathit{dt}}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}}$
	$\mathrm{\frac{\mathit{d}^{\mathit{n}}}{\mathit{dt}^{\mathit{n}}}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$	$\mathrm{\mathit{s}^{\mathit{n}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}-\mathit{s}^\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}-...-\frac{\mathit{d^{\mathrm{\left ( \mathit{n-\mathit{1}} \right )}}}}{\mathit{dt}^{\mathrm{\left (\mathit{n-\mathit{1}} \right)}} } \mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}}$
时域积分	$\mathrm{\int_{\mathrm{0}^{-}}^{\mathit{t}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau}\right)}\:\mathit{d\tau}}$	$\mathrm{\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}{\mathit{s}}}$
时域积分	$\mathrm{\int_{\mathrm{-\infty }}^{\mathit{t}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau}\right)}\:\mathit{d\tau}}$	$\mathrm{\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}{\mathit{s}}\:\mathrm{+}\:\frac{1}{\mathit{s}}\int_{-\infty }^{\mathrm{0}^{-}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau}\right)}\:\mathit{d\tau}}$
频域微分	$\mathrm{\mathit{t}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$	$\mathrm{-\frac{\mathit{d}}{\mathit{ds}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$
频域微分	$\mathrm{\mathit{t}^{\mathit{n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$	$\mathrm{\mathrm{\left ( -\mathrm{1} \right )}^{\mathit{n}}\frac{\mathit{d}^{\mathit{n}}}{\mathit{ds}^{\mathit{n}}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$
频域积分	$\mathrm{\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}{\mathit{t}}}$	$\mathrm{\int_{\mathit{s}}^{\infty}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathit{ds}}$
时域卷积	$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$	$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$
频域卷积	$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$	$\mathrm{\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}*\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{\mathrm{\left ( \mathit{c-\mathit{j\infty}}\right)}}^{\mathrm{\left ( \mathit{c\mathrm{+}\mathit{j\infty}}\right)}}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{p}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{s-p}\right)}\:\mathit{dp}}$
时间周期性	$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left( \mathit{t}\mathrm{+}\mathit{nT}\right)}\:\mathrm{where},\mathit{n}\:\mathrm{=}\mathrm{1,2,3,}...}$	$\mathrm{\frac{1}{\mathrm{\left( \mathrm{1}-\mathit{e^{-st}}\right)}}\mathit{X}^{'}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)};\\mathrm{where},\mathit{X}^{'}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\mathit{T}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-st}}\:\mathit{dt}}$
初始值定理	$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}}$	$\mathrm{\displaystyle \lim_{\mathit{s} \to \infty }\mathit{s}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$
终值定理	$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\infty }\right)}}$	$\mathrm{\displaystyle \lim_{\mathit{s} \to 0}\mathit{s}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$

Manish Kumar Saini

更新于: 2022年1月11日

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