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法学信号与系统——Z变换收敛域(ROC)的性质
Z变换
Z变换 (ZT) 是一种数学工具，用于将时域中的差分方程转换为z域中的代数方程。
数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一个离散时间信号或序列，那么它的双边Z变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}}$$
其中，z是一个复变量。
Z变换的收敛域(ROC)
在z平面上，使离散时间序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z变换，即$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$收敛的点集称为$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$的收敛域(ROC)。
Z变换ROC的性质
Z变换的收敛域(ROC)具有以下性质：
Z变换的ROC是z平面上以原点为中心的环形或圆盘。
Z变换的ROC不能包含任何极点。
线性时不变稳定系统的Z变换的ROC包含单位圆。
Z变换的ROC必须是连通区域。当Z变换$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$是有理函数时，其ROC由极点界定或延伸到无穷大。
对于$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \:\mathrm{=}\: \mathit{\delta}\mathrm{\left(\mathit{n}\right )}$, 即冲激序列是唯一一个Z变换ROC为整个z平面的序列。
如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是无限长的因果序列，则其ROC为$\left|\mathit{z} \right|>\mathit{a}$，即半径等于a的圆的外部。
如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是无限长的反因果序列，则其ROC为$\left|\mathit{z} \right|<\mathit{b}$，即半径等于b的圆的内部。
如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是无限长的双边序列，则其ROC为$\mathit{a}<\left|\mathit{z} \right|<\mathit{b}$，即它由z平面上一个环组成，该环在内部和外部由极点界定，并且不包含任何极点。
如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是有限长的因果序列（即右序列），则其ROC为整个z平面，除了z = 0。
如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是有限长的反因果序列（即左序列），则其ROC为整个z平面，除了$z\:\mathrm{=}\:\mathit{\infty}$。
如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是有限长的双边序列，则其ROC为整个z平面，除了z = 0和$z\:\mathrm{=}\:\mathit{\infty}$。
两个或多个序列之和的ROC等于这些序列ROC的交集。
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