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法学信号与系统 – 逆Z变换是什么？
逆Z变换
**逆Z变换**定义为从其Z变换$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$ 求解时域信号$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 的过程。逆Z变换表示为：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}Z^{-\mathrm{1}}\left [ X\left ( z \right ) \right ]}}$$
由于Z变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$
其中，z是一个复变量，由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{z\mathrm{\, =\,}r\, e^{j\, \omega }}}$$
其中，r是z平面中圆的半径。因此，将z的值代入式(1)，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}X\left ( r\, e^{j\, \omega } \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}-\infty }^{\infty }\left [ x\left ( n \right )r^{-n} \right ]e^{-j\, \omega \, n}\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{2} \right )}}$$
式(2)是信号$\mathrm{\mathit{\left [ x\left ( n \right )r^{-n} \right ]}}$ 的离散时间傅里叶变换(DTFT)。因此，函数$\mathrm{\mathit{X\left ( r\, e^{j\, \omega } \right )}}$ 的逆DTFT必须是$\mathrm{\mathit{\left [ x\left ( n \right )r^{-n} \right ]}}$ 。因此，我们可以写成：
$$\mathrm{\mathit{F^{-\mathrm{1}}\left [ X\left ( r\, e^{j\, \omega } \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}x\left ( n \right )r^{-n}\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\pi }^{\pi }X\left ( re^{j\, \omega } \right )e^{j\, \omega \, n}d\omega}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\pi }^{\pi }X\left ( re^{j\, \omega } \right )\left ( re^{j\, \omega } \right )^{n}\: d\omega\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{3} \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\because z\mathrm{\, =\,}re^{j\, \omega }}}$$
那么，
$$\mathrm{\mathit{\frac{dz}{d\omega }\mathrm{\, =\,}jre^{j\, \omega }\; \; or\: \: d\omega \mathrm{\, =\,}\frac{dz}{jre^{j\, \omega }}}}$$
将z和dω的值代入式(3)，我们有：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint_{c}X\left ( z \right )z^{\left ( n-1 \right )}\, dz\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{4} \right ) }}$$
式(4)中给出的积分表示沿半径为$\mathrm{\mathit{\left|z \right|\mathrm{\, =\,}r}}$ 的圆进行逆时针方向的积分。 *这是求逆Z变换的直接方法*。直接法相当繁琐。因此，使用间接方法求逆Z变换。
求逆Z变换的方法
通常，有以下四种方法用于求逆Z变换：
**长除法或幂级数法** – 长除法很简单，这种方法的优点是它更通用，可以应用于任何问题。但是，这种方法的缺点是它不能给出封闭形式的解。此外，只有当给定Z变换$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$ 的收敛域(ROC)的形式为|$\mathrm{\mathit{z}}$| > 𝑎 或|$\mathrm{\mathit{z}}$| < 𝑎时才能使用它。
**部分分式展开法** – 在这种方法中，真分数$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$⁄$\mathrm{\mathit{z}}$ 被写成部分分式的形式，并通过标准Z变换对找到每个部分分式的逆Z变换，然后将它们全部加起来。
**留数法或复反演积分法** – 在留数法中，逆Z变换是使用以下公式得到的：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint_{c}X\left ( z \right )z^{\left ( n-1 \right )}\, dz }}$$
**卷积积分法** – 卷积积分法利用Z变换的卷积性质，当给定Z变换$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$ 可以写成两个函数的乘积时，可以使用这种方法。
数值例子
确定逆Z变换：
$$\mathrm{\mathit{X\left (z \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{4}z^{-\mathrm{1}}}{\left [ \mathrm{1-\left ( \frac{1}{3} \right )}z^{-\mathrm{1}} \right ]^{\mathrm{2}}};\; \; ROC\to \left|z \right|>\left ( \mathrm{\frac{1}{3}} \right )}}$$
解答
逆Z变换可以使用以下公式获得：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint_{c}X\left ( z \right )z^{\left ( n-1 \right )}\, dz }}$$
这个公式可以通过找到ROC中z平面内圆c内所有极点的留数之和来计算。因此，上述公式也可以写成
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\sum }c内极点处的\mathit{X\left ( z \right )z^{n-\mathrm{1}}}\: 的留数}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{i}\left ( z-z_{i} \right )X\left ( z \right )z^{n-\mathrm{1}}|_{z\mathrm{\, =\,}z_{i}}}}$$
现在，如果存在k阶极点，则该极点的留数由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left ( k-\mathrm{1} \right )\mathrm{\, !\,}}\frac{d^{k-\mathrm{1}}}{dz^{k-\mathrm{1}}}\left [ \left ( z-z_{i} \right )^{k}X\left ( z \right )z^{n-\mathrm{1}} \right ]_{z\mathrm{\, =\,}z_{i}}}}$$
给定的Z变换是：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{4}z^{-\mathrm{1}}}{\left [ \mathrm{1-\left ( \frac{1}{3} \right )} z^{\mathrm{-1}}\right ]^{\mathrm{2}}}\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{4}z}{\left [ \mathrm{\mathit{z}-\left ( \frac{1}{3} \right )}\right ]^{\mathrm{2}}}}}$$
由于给定的Z变换$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$ 在$\mathrm{\mathit{z}}$ = (1/3)处具有2阶极点。
$$\mathrm{\mathit{\therefore x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left ( \mathrm{2}-\mathrm{1} \right )\mathrm{\, !\,}}\frac{d^{\left ( \mathrm{2-1} \right )}}{dz^{\left ( \mathrm{2-1} \right )}}\left [ \left ( z-\mathrm{\frac{1}{3}} \right )^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{4}z\: z^{n-\mathrm{1}}}{\left [ z-\left ( \mathrm{\frac{1}{3}} \right ) \right ]^{\mathrm{2}}} \right ]_{z\mathrm{\, =\,}\mathrm{\left ( 1/3 \right )}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{d}{dz}\left [ \left ( z-\mathrm{\frac{1}{3}} \right )^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{4}z^{n}}{\left [ z-\mathrm{\left ( \frac{1}{3} \right )} \right ]^{\mathrm{2}}} \right ]_{z\mathrm{\, =\,}\left ( \mathrm{1/3} \right )}\; \; \mathrm{\, =\,}\left [ \mathrm{4}nz^{n-\mathrm{1}} \right ]_{z\mathrm{\, =\,}\left ( \mathrm{1/3} \right )}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{4}n\left ( \mathrm{\frac{1}{3}} \right )^{n-\mathrm{1}}u\left ( n \right )}}$$
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