信号与系统 – 傅里叶变换对表

傅里叶变换

傅里叶变换是一种变换技术，它将信号从连续时间域转换到相应的频域，反之亦然。

连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为：

$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt… (1)}$

连续时间函数的逆傅里叶变换定义为：

$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\:e^{j\omega t}d\omega… (2)}$

公式 (1) 和 (2) 中的 $X(\omega)$ 和 $x(t)$ 被称为 **傅里叶变换对**，可以表示为：

$\mathrm{X(\omega)=F[x(t)]}$

以及

$\mathrm{x(t)=F^{-1}[X(\omega)]}$

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函数，x(t)	傅里叶变换，X(ω)
$\delta(t)$	1
$\delta(t-t_{0})$	$e^{-j \omega t_{0}}$
1	$2\pi \delta(\omega)$
u(t)	$\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$
$\sum_{n=−\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$	$\omega_{0}\sum_{n=−\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_{0});\:\:\left(\omega_{0}=\frac{2\pi}{T} \right)$
sgn(t)	$\frac{2}{j\omega}$
$e^{j\omega_{0}t}$	$2\pi\delta(\omega-\omega_{0})$
$cos\:\omega_{0}t$	$\pi[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})]$
$sin\:\omega_{0}t$	$-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]$
$e^{-at}u(t);\:\:\:a >0$	$\frac{1}{a+j\omega}$
$t\:e^{at}u(t);\:\:\:a >0$	$\frac{1}{(a+j\omega)^{2}}$
$e^{-\|at\|};\:\:a >0$	$\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}$
$e^{-\|t\|}$	$\frac{2}{1+\omega^{2}}$
$\frac{1}{\pi t}$	$-j\:sgn(\omega)$
$\frac{1}{a^{2}+t^{2}}$	$\frac{\pi}{a}e^{-a\|\omega\|}$
$\Pi (\frac{t}{τ})$	$τ\:sin c(\frac{\omega τ}{2})$
$\Delta(\frac{t}{τ})$	$\frac{τ}{2}sin C^{2}(\frac{\omega τ}{4})$
$\frac{sin\:at}{\pi t}$	$P_{a}(\omega)=\begin{cases}1 & for\:\|\omega\|\:< a\0 & for\:\|\omega\|\: > a \end{cases}$
$cos\:\omega_{0}t\:u(t)$	$\frac{\pi}{2}[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})]+\left [ \frac{j\omega}{(j\omega)^{2}+\omega_{0}^{2}} \right ]$
$sin\:\omega_{0}t\:u(t)$	$-j\frac{\pi}{2}[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]+\left [\frac{\omega_{0}}{(j\omega)^{2}+\omega_{0}^{2}} \right ]$

Manish Kumar Saini

更新于: 2021年12月3日

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