信号与系统 – 拉普拉斯变换与Z变换之间的关系

Z变换

Z变换 (ZT) 是一种数学工具，用于将时域中的差分方程转换为z域中的代数方程。

在数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个离散时间信号或序列，那么它的双边或双侧Z变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$

其中，z 是一个复变量。

此外，单边或单侧Z变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。

在数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一个连续时间函数，那么它的拉普拉斯变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$

公式 (1) 给出了函数$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，应用单边拉普拉斯变换，其定义为 −

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0} }^{\mathrm{\infty} }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(4)}$$

拉普拉斯变换与Z变换之间的关系

设$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一个连续时间信号。该信号的离散时间版本为$\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$，信号$\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 通过对$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 进行采样得到，采样周期为T秒，换句话说，序列$\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 通过将信号$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 与一系列间隔T秒的脉冲相乘得到，即

$$\mathrm{\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT}\right)}\mathit{\delta \mathrm{\left(\mathit{t-nT}\right)}}}$$

对两边取拉普拉斯变换，得到：

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[ \mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT}\right)}\mathit{\delta \mathrm{\left(\mathit{t-nT}\right)}}\right]}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT}\right)}\mathit{L}\:\mathrm{\left[\mathit{\delta \mathrm{\left ( \mathit{t-nT}\right)}} \right ]}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[ \mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x\mathrm{\left (\mathit{nT}\right)}}\mathit{e^{-nsT}}\:\:\:\:\:\:...(\mathrm{5})}$$

现在，序列x(nT) 的Z变换由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT}\right)}\right]}\:\mathrm{=\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x\mathrm{\left (\mathit{nT}\right)}}\mathit{z^{-n}}}\:\:\:\:\:\:...(\mathrm{6})}$$

从公式 (5)&(6) 中，我们有：

$$\mathrm{ \mathit{L}\mathrm{\left[ \mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x\mathrm{\left (\mathit{nT}\right)}}\mathit{z^{-n}} \right ]}_{\mathit{z=e^{sT}}}}$$

因此，拉普拉斯变换和Z变换之间的关系由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[ \mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z\mathrm{\left[\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}}_{\mathit{z=e^{sT}}}}$$

Manish Kumar Saini

更新于: 2022年1月7日

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