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法律研究信号与系统 – Z 反变换的部分分式展开法
Z 反变换
**Z 反变换**被定义为从其 Z 变换 X(z) 找到时域信号 x(n) 的过程。Z 反变换表示为 -
x(n)=Z−1[X(z)]
使用部分分式展开法求 Z 反变换
为了使用部分分式展开法确定 X(z) 的 Z 反变换，X(z) 的分母必须采用因式分解的形式。在这种方法中，我们得到的是 X(z)z 而不是 X(z) 的部分分式展开。这是因为时域序列的 Z 变换在其分子中具有 Z。
只有当 X(z)z 是一个真有理函数时，才能应用部分分式展开法，即其分母的阶数大于其分子的阶数。
如果 X(z)z 不是真函数，则在应用部分分式法之前，应将其写成多项式和真函数的形式。
部分分式法的一个缺点是，X(z) 的分母必须采用因式分解的形式。一旦将 X(z)z 作为真函数获得，则使用标准 Z 变换对和 Z 变换的性质，可以得到每个部分分式的 Z 反变换。
令一个有理函数 X(z)z 表示为 -
X(z)z=N(z)D(z)=b0zm+b1zm−1+b2zm−2+...bmzn+a1zn−1+a2zn−2+...an
当分子的阶数小于分母的阶数时，即m <n，则 X(z)z 是一个真函数。如果 m≥n，则 X(z)z 不是真函数，则应写成 -
X(z)z=c0zn−m+c1zn−m−1+...+cn−m+N1(z)D(z)
其中，[c0zn−m+c1zn−m−1+...+cn−m] 是一个多项式，N1(z)D(z) 是真有理函数。
现在，对于真有理函数 X(z)z 有两种情况如下 -
情况一 - 当 X(z)z 具有所有不同的极点时 -
当 X(z)z 的所有极点都不同时，函数 X(z)z 可以展开成如下形式 -
X(z)z=C1z−K1+C2z−K2+C3z−K3+...+Cnz−Kn
这里，系数 C1,C2,C3,...,Cn 可以用下面给出的公式确定 -
Ci=[(z−Ki)X(z)z]z=Ki;Where,i=1,2,3..
情况二 - 当 X(z)z 具有 l 个重复极点，其余 (n-l) 个极点是简单的 -
考虑 pth 个极点重复了 l 次。那么，函数 X(z)z 可以表示为，
X(z)z=C1z−K1+C2z−K2+...+Cp1z−Kp+Cp2(z−kp)2+...+Cpl(z−kp)l
其中，
Cpl=[(z−Kp)lX(z)z]z=Kp
此外，如果 Z 变换 X(z) 具有复极点，则部分分式可以表示为 -
X(z)z=C1z−K1+C∗1z−K∗1
其中，C∗1 是 C1 的复共轭，K∗1 是 K1 的复共轭。因此，很明显，复极点会导致部分分式展开中出现复共轭系数。
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数值示例
求以下 Z 变换的逆 Z 变换
X(z)=z−12−3z−1+z−2;ROC→|z|>1
解答
给定的 Z 变换为，
X(z)=z−12−3z−1+z−2
⇒X(z)=z2z2−3z+1=z2[z2−(3z2)+(12)]
⇒X(z)=12{z(z−1)[z−(12)]}
通过进行部分分式展开，我们得到，
⇒X(z)z=A(z−1)+B[z−(12)]
其中，A 和 B 如下确定 -
A=[(z−1)X(z)z]z=1
=(z−1)[12z(z−1)[z−(12)]]z=1
=12[11−(12)]=1
类似地，
B=[(z−12)X(z)z]z=12
=(z−12)[12z(z−1)[z−(12)]]z=12
=12[1(12)−1]=−1
∴X(z)z=1(z−1)−1[z−(12)]
⇒X(z)=z(z−1)−z[z−(12)];ROC→|z|>1
因为给定 Z 变换的收敛域 (ROC) 为 |z| > 1，因此这两个序列都必须是因果的。因此，通过取逆 Z 变换，我们得到，
Z−1[X(z)]=Z−1[z(z−1)−z[z−(12)]]
∴x(n)=[u(n)−(12)nu(n)]
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