留数法计算Z反变换

Z变换

Z变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为z域中的代数方程。数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是一个离散时间函数，则其Z变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$

利用留数法求Z反变换

留数法也称为 *复反演积分法*。离散时间信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 的Z变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$

其中，z 是一个复变量，如果 r 是圆的半径，则由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathit{re^{j\:\omega }}}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\: \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{re^{j\:\omega }}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathrm{\left (\mathit{re^{j\:\omega}} \right )}^{\mathit{-n}}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{re^{j\:\omega }}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \mathit{r^{-n}}\right ]}\mathit{e^{-j\:\omega n}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$

由于公式(1)是信号$\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \mathit{r^{-n}}\right ]}$ 的傅里叶变换。因此，函数 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{re^{j\:\omega }}\right)}$ 的逆离散时间傅里叶变换 (DTFT) 必须是 $\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \mathit{r^{-n}}\right ]}$。

$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r^{-n}}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi }^{\pi}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{re^{j\:\omega }}\right)}\mathit{e^{j\:\omega n}}\:\mathit{d\omega}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi}\mathit{X}\mathrm{\left ( \mathit{re^{j\:\omega }}\right )}\mathrm{\left ( \mathit{re^{j\:\omega }} \right )}^{\mathit{n}}\:\mathit{d\omega }\:\:\:\:\:\:...(2)}$$

$$\mathrm{\because \mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathit{re^{j\:\omega }}}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{dz}\:\mathrm{=}\:\mathit{jre^{j\:\omega }}\:\mathit{d\omega }}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{d\omega }\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{dz}}{\mathit{jre^{j\:\omega}}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{dz}}{jz}}$$

将z和$\mathit{d\omega }$ 的值代入公式(2)，得到：

$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi}\mathit{X}\mathrm{\left (\mathit{z}\right )}\mathit{z^{\mathit{n}}}\frac{\mathit{dz}}{jz}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{-\pi }^{\pi}\mathit{X}\mathrm{\left (\mathit{z}\right )}\mathit{z^{\mathit{n-\mathrm{1}}}}\mathit{dz}}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\oint_{\mathit{c}}^{}\mathit{X}\mathrm{\left (\mathit{z}\right )}\mathit{z^{\mathit{n-\mathrm{1}}}}\mathit{dz}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$

其中，c 是X(z)的收敛域中z平面上的圆。符号$\mathrm{\left [ \oint_{\mathit{c}}^{} \right ]}$ 表示沿半径为$\left| \mathit{z}\right|\:\mathrm{=}\:\mathit{r}$ 的圆逆时针方向积分。

公式(3)可以通过确定圆c 内所有极点的留数之和来计算，即：

$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum \mathrm{\left [圆\:\mathit{c}\:内极点的留数\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{z^{\mathit{n-\mathrm{1}}}} \right ]}}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\: \mathrm{\left [ \sum_{\mathit{i}}^{}\mathrm{\left ( \mathit{z-z_{\mathit{i}}} \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}z^{\mathit{n-\mathrm{1}}} \right ]}_{\mathit{z=z_{\mathit{i}}}}}$$

如果对于一个或多个n 值，[$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}z^{\mathit{n-\mathrm{1}}}$]在轮廓圆c 内没有极点，则对于这些值，$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:0$。

数值例子

使用留数法求X(z)的Z反变换。

$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1\:+2\mathit{z^{-\mathrm{1}}}}{1+4\mathit{z^{-\mathrm{1}}\mathrm{\, +\, }\mathrm{3}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}}};\:\mathrm{ROC}\to\left|\mathit{z} \right|>3}$$

解答

给定的Z变换是：

$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1\:+2\mathit{z^{-\mathrm{1}}}}{1+4\mathit{z^{-\mathrm{1}}\mathrm{\, +\, }\mathrm{3}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}}}}$$

$$\mathrm{\therefore\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}}{\mathit{z^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\, }\mathrm{4\mathit{z}+\mathrm{3}}}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}\mathrm{\, +\, }3 \right )}}}$$

使用留数法，我们有：

$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum \mathrm{\left [圆\:\mathit{c}\:内极点的留数\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{z^{\mathit{n-\mathrm{1}}}} \right ]}}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum \mathrm{圆\:\mathit{c}\:内极点的留数\:\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}\mathit{z}^{n-1}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}+3 \right )}} \right ]}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum \mathrm{圆\:\mathit{c}\:内极点的留数\:\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}^{\mathit{n}}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}+3 \right )}} \right ]}}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum \mathrm{极点\:\mathit{z}\:\mathrm{=}\:-1\:和\:\mathit{z}\:\mathrm{=}\:-3\:处的留数\:\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}^{\mathit{n}}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}+3 \right )}} \right ]}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left [ \mathrm{\left ( \mathit{z}+\mathrm{1} \right )}\frac{\mathit{z}^{\mathit{n}}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}+3 \right )}}\right ]}_{\mathit{z}=-1}\:+\:\:\mathrm{\left [ \mathrm{\left ( \mathit{z}+\mathrm{3} \right )}\frac{\mathit{z}^{\mathit{n}}\mathrm{\left ( \mathit{z}+2 \right )}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right )}\mathrm{\left ( \mathit{z}+3 \right )}}\right ]}_{\mathit{z}=-3}}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2}\mathrm{\left( -1 \right )}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:+\:\:\frac{1}{2}\mathrm{\left( -3 \right )}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$

Manish Kumar Saini

更新于：2022年1月31日

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