常用Z变换对

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Z变换

Z变换是一种数学工具，用于将时域中的差分方程转换为频域中的代数方程。

数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是一个离散时间序列，则它的Z变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$

其中，z是一个复变量。公式(1)中定义的Z变换称为双边或双侧Z变换。

单边或单侧Z变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{2} \right )}}$$

常用Z变换对

下表给出了一些单边和双边Z变换及其收敛域(ROC)：

离散时间序列, $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$	Z变换, $\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$	收敛域(ROC)
$\mathrm{\mathit{\delta \left ( n \right )}}$	1	所有 𝑧
$\mathrm{\mathit{u \left ( n \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{z}{\left ( z-\mathrm{1} \right )}\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left ( \mathrm{1}-z^{-\mathrm{1}} \right )} }}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\mathrm{1}}}$
$\mathrm{\mathit{u \left ( -n \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-z}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|<\mathrm{1}}}$
$\mathrm{\mathit{u \left ( -n-\mathrm{1} \right )}}$	$\mathrm{\mathit{-\frac{z}{\left ( z-\mathrm{1} \right )}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|<\mathrm{1}}}$
$\mathrm{\mathit{u \left ( -n-\mathrm{2} \right )}}$	$\mathrm{\mathit{-\frac{z^{\mathrm{2}}}{\left ( z-\mathrm{1} \right )}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|<\mathrm{1}}}$
$\mathrm{\mathit{u \left ( -n-k \right )}}$	$\mathrm{\mathit{-\frac{z^{k}}{\left ( z-\mathrm{1} \right )}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|<\mathrm{1}}}$
$\mathrm{\mathit{\delta \left ( n-k \right )}}$	$\mathrm{\mathit{z^{-k}}}$	如果 𝑘 > 0, 所有 𝑧 除了 𝑧 = 0 如果 𝑘 < 0, 所有 𝑧 除了 𝑧 = ∞
$\mathrm{\mathit{\frac{\mathrm{1}}{n};\; \; n> \mathrm{0}}}$	$\mathrm{-ln\mathit{\left ( \mathrm{1}-z^{-\mathrm{1}} \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\mathrm{1}}}$
$\mathrm{\mathit{a^{\left| n\right|};\; \; }对所有\mathit{n}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{\left ( \mathrm{1}-a^{\mathrm{2}} \right )}{\left [ \left ( \mathrm{1}-az \right )\left ( \mathrm{1}-az^{-\mathrm{1}} \right ) \right ]}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|a \right|<\left|z \right|<\left|\frac{\mathrm{1}}{a} \right|}}$
$\mathrm{\mathit{a^{n}u\left ( n \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{z}{z-a}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\left|a \right|}}$
$\mathrm{\mathit{-a^{n}u\left ( -n \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{a}{\left ( z-a \right )}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|<\left|a \right|}}$
$\mathrm{\mathit{-a^{n}u\left ( -n-\mathrm{1} \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{z}{\left ( z-a \right )}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|<\left|a \right|}}$
$\mathrm{\mathit{nu\left ( n \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{z}{\left ( z-\mathrm{1} \right )^{\mathrm{2}}}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\mathrm{1}}}$
$\mathrm{\mathit{n\, a^{n}u\left ( n \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{az}{\left ( z-a \right )^{\mathrm{2}}}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\left|a \right|}}$
$\mathrm{\mathit{-n\,u\left ( -n-\mathrm{1} \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{z}{\left ( z-\mathrm{1} \right )^{\mathrm{2}}}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|<\mathrm{1}}}$
$\mathrm{\mathit{-n\,a^{n}u\left ( -n-\mathrm{1} \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{az}{\left ( z-a \right )^{\mathrm{2}}}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|<\left|a \right|}}$
$\mathrm{\mathit{e^{-j\, \omega n}u\left ( n \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{z}{\left ( z-e^{-j\omega } \right )}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\mathrm{1}}}$
$\mathrm{cos\mathit{\, \omega n\: u\left ( n \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{z\left ( z-\mathrm{cos}\, \omega \right )}{z^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}z\, \mathrm{cos}\, \omega \mathrm{\, +\,}\mathrm{1} }}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\mathrm{1}}}$
$\mathrm{sin\mathit{\, \omega n\: u\left ( n \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{z\: \mathrm{sin}\omega }{z^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}z\, \mathrm{cos}\, \omega \mathrm{\, +\,}\mathrm{1} }}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\mathrm{1}}}$
$\mathrm{\mathit{a^{n}\, \mathrm{cos}\: \omega n\: u\left ( n\right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{z\left ( z-a\, \mathrm{cos}\, \omega \right )}{z^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}az\, \mathrm{cos}\, \omega \mathrm{\, +\,}a^{\mathrm{2}}}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\left|a \right|}}$
$\mathrm{\mathit{a^{n}\, \mathrm{sin}\: \omega n\: u\left ( n\right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{az\: \mathrm{sin}\, \omega }{z^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}az\, \mathrm{cos}\, \omega \mathrm{\, +\,}a^{\mathrm{2}} }}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\left|a \right|}}$
$\mathrm{\mathit{\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{1} \right )a^{n}u\left ( n \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{z^{\mathrm{2}}}{\left ( z-a \right )^{\mathrm{2}}}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\left|a \right|}}$
$\mathrm{\mathit{\frac{\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{1} \right )\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{2} \right )}{\mathrm{2!}}a^{n}u\left ( n \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{z^{\mathrm{3}}}{\left ( z-a \right )^{\mathrm{3}}}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\left|a \right|}}$
$\mathrm{\mathit{\frac{n\left ( n-\mathrm{1} \right )}{\mathrm{2!}}a^{\left ( n-\mathrm{2} \right )}u\left ( n \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{z}{\left ( z-a \right )^{\mathrm{3}}}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\left|a \right|}}$
$\mathrm{\mathit{\frac{n\left ( n-\mathrm{1} \right )...\left [ n-\left ( k-\mathrm{2} \right ) \right ]}{\left ( k-\mathrm{1} \right )\mathrm{!}}a^{\left ( n-k\mathrm{\, +\,}\mathrm{1} \right )}u\left ( n \right )}}$	$\mathrm{\mathit{\frac{z}{\left ( z-a \right )^{k}}}}$	$\mathrm{\mathit{\left|z \right|>\left|a \right|}}$