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法律研究Z 变换的终值定理
Z 变换
Z 变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。在数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个离散时间函数，则其 Z 变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
Z 变换的终值定理
Z 变换的终值定理使我们能够直接从其 Z 变换计算序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的稳态值，即 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\infty}\right)}$，而无需求其反 Z 变换。
**陈述** - 如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个因果序列，则 Z 变换的终值定理指出，如果：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
并且如果 Z 变换 X(z) 在单位圆外没有极点，并且在以 z 平面原点为中心的单位圆上没有更高阶的极点，则：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{\infty }\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to \infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to 1 }\mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
证明
从因果序列的 Z 变换定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
以及
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n\mathrm{+}\mathrm{1}}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\mathrm{=}\:\mathit{z}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}-\mathit{z}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n\mathrm{+}\mathrm{1}}\right)}\right]}-\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{\mathit{-n}}}-\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n\mathrm{+}\mathrm{1}}\right)}\right]}-\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{z}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}-\mathit{z}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}-\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}-\mathit{z}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathit{n}+1\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}-\mathit{z}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathrm{1}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\right]}\mathit{z^{\mathrm{0}}}\:\mathrm{+}\:\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathrm{2}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\right]}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathrm{3}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\right]}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}\:\mathrm{+}\:...}$$
现在在两边取极限 $\mathit{z}\to 1$，我们得到：
$$\mathrm{\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[ \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}-\mathit{z}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left\{\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathrm{1}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\right]}\mathit{z^{\mathrm{0}}}\:\mathrm{+}\:\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathrm{2}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\right]}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathrm{3}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\right]}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}\:\mathrm{+}\:... \right\}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[ \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right ]}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}-\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{3}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\infty-1\right)}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[ \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right ]}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(0\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[ \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right ]}}$$
数值示例 (1)
如果 X(z) 由下式给出，求 $\mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}$：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left (\mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left( \mathit{z-\mathrm{0.3}}\right )}}}$$
解答
序列的给定 Z 变换为：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left (\mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left( \mathit{z-\mathrm{0.3}}\right )}}}$$
现在，使用 Z 变换的终值定理 $\mathrm{\left [ i.e,\mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[ \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right ]} \right ]}$，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left(\mathit{z-\mathrm{1}}\right)}\mathrm{\left[\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left (\mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left( \mathit{z-\mathrm{0.3}}\right )}}\right]}\:\mathrm{=}\:\:\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left( \mathit{z-\mathrm{0.3}}\right )}}\right]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\left( \mathrm{1-\mathrm{0.3}}\right )}}\right]}\:\mathrm{=}\:1.43}$$
数值示例 (2)
使用终值定理，计算如果 X(z) 由下式给出，则 $\mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}$：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}+1}{\mathrm{3\left (\mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left( \mathit{z\mathrm{+}\mathrm{0.4}}\right )}}}$$
解答
序列的给定 Z 变换为：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}+1}{\mathrm{3\left (\mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left( \mathit{z\mathrm{+}\mathrm{0.4}}\right )}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}+1}{\mathrm{3\mathrm{\left( \mathit{z\mathrm{+}\mathrm{0.4}}\right )}}}}$$
我们可以看到，$\mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 在单位圆上或单位圆外没有极点。因此，使用 Z 变换的终值定理，我们有：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\infty}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[\frac{\mathit{z}+1}{3\mathrm{\left ( \mathit{z}+0.4\right )}} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\frac{\mathrm{1}+1}{3\mathrm{\left(\mathrm{1}+0.4\right )}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\infty}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\frac{\mathrm{2}}{3\times 1.4} \right ]}\:\mathrm{=}\:0.48}$$
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