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法学拉普拉斯变换的初始值定理
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 *s* 域中的代数方程。
数学上，如果 x(t) 是一个时域函数，那么它的拉普拉斯变换定义为：
L[x(t)]=X(s)=∫∞−∞x(t)e−stdt...(1)
公式 (1) 给出了函数 x(t) 的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，则应用单边拉普拉斯变换，其定义为：
L[x(t)]=X(s)=∫∞0x(t)e−stdt...(2)
初始值定理
拉普拉斯变换的初始值定理使我们能够直接从其拉普拉斯变换 X(s) 计算函数 x(t) 的初始值 [即 x(0)]，而无需求 X(s) 的反拉普拉斯变换。
定理陈述
拉普拉斯变换的**初始值定理**指出，如果
x(t)LT⟷X(s)
那么，
limt→0x(t)=x(0)=lims→∞sX(s)
证明
根据单边拉普拉斯变换的定义，我们有：
L[x(t)]=X(s)∫∞0x(t)e−stdt
对等式两边求导，我们得到：
L[dx(t)dt]=∫∞0dx(t)dte−stdt
根据拉普拉斯变换的求导性质 [i.e..,dx(t)dtLT⟷sX(s)−x(0−)]，我们得到：
L[dx(t)dt]=∫∞0dx(t)dte−stdt=sX(s)−x(0−)
现在，对等式两边取 lims→∞，我们有：
lims→∞{∫∞0dx(t)dte−stdt}=lims→∞{sX(s)−x(0)} ⇒0=lims→∞sX(s)−x(0) ⇒x(0)=lims→∞sX(s)
因此，我们有：
limt→0x(t)=x(0)=lims→∞sX(s)
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数值例子
首先确定 x(t)，然后验证给定函数的初始值定理：
X(s)=1(s+3)
解答
给定函数为：
X(s)=1(s+3)
对 X(s) 进行反拉普拉斯变换，我们得到：
x(t)=L−1[X(s)]=L−1[1(s+3)] ⇒x(t)=e−3t
因此，函数的初始值为：
x(0)=[x(t)]t=0 ⇒x(0)=[e−3t]t=0=e0=1
同样，根据初始值定理，我们得到：
x(0)=lims→∞sX(s)=lims→∞s[1(s+3)] ⇒x(0)=lims→∞[1(1+3s)]=1
因此，对于给定函数，初始值定理得到验证。
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