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法学拉普拉斯变换的初始值定理
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 *s* 域中的代数方程。
数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 是一个时域函数，那么它的拉普拉斯变换定义为：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})\mathit{e^{-st}}}\mathit{dt} \:\:\:...(1)$$
公式 (1) 给出了函数 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，则应用单边拉普拉斯变换，其定义为：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{e^{-st}}}\mathit{dt} \:\:\:...(2)$$
初始值定理
拉普拉斯变换的初始值定理使我们能够直接从其拉普拉斯变换 X(s) 计算函数 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的初始值 [即 $\:\:\mathit{x}\mathrm{(0)}$]，而无需求 X(s) 的反拉普拉斯变换。
定理陈述
拉普拉斯变换的**初始值定理**指出，如果
$$\mathit{x}\mathrm{(t)}\:\overset{\mathit{LT}}\longleftrightarrow\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$
那么，
$$\lim_{t \rightarrow \mathrm{0}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(0)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow \infty}\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}$$
证明
根据单边拉普拉斯变换的定义，我们有：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})\mathit{e^{-st}}}\:\mathit{dt}$$
对等式两边求导，我们得到：
$$\mathit{L}\mathrm{[\frac{\mathit{dx\mathrm{(\mathit{t})}}}{\mathit{dt}}]}\:\mathrm{=}\:\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{\frac{\mathit{dx}\mathrm{(\mathit{t})}}{\mathit{dt}}\mathit{e^{-st}}}\:\mathit{dt}$$
根据拉普拉斯变换的求导性质 $[i.e..,\:\mathrm{\frac{\mathit{dx\mathrm{(\mathit{t})}}}{\mathit{dt}}}\:\overset{LT}\longleftrightarrow\:\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}\:-\:\mathit{x}\mathrm{(0^{-})}]$，我们得到：
$$\mathit{L}\mathrm{[\frac{\mathit{dx\mathrm{(\mathit{t})}}}{\mathit{dt}}]}\:\mathrm{=}\:\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{\frac{\mathit{dx}\mathrm{(\mathit{t})}}{\mathit{dt}}\mathit{e^{-st}}}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}-\mathit{x}\mathrm{(0^{-})}$$
现在，对等式两边取 $\lim_{s\rightarrow\infty}$，我们有：
$$\lim_{s \rightarrow \infty}\lbrace\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{\frac{\mathit{dx}\mathrm{(\mathit{t})}}{\mathit{dt}}\mathit{e^{-st}}}\:\mathit{dt}\rbrace\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow \infty}\lbrace\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}-\mathit{x}\mathrm{(0)}\rbrace$$ $$\Rightarrow\mathrm{0}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow \infty}\mathit{sX}\mathrm{(s)}-\mathit{x}\mathrm{(0)}$$ $$\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{(0)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow \infty}\mathit{sX}\mathrm{(s)}$$
因此，我们有：
$$\lim_{t \rightarrow 0}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(0)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow \infty}\mathit{sX}\mathrm{(s)}$$
数值例子
首先确定 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$，然后验证给定函数的初始值定理：
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{(\mathit{s}+\mathrm{3})}}$$
解答
给定函数为：
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{(\mathit{s}+\mathrm{3})}}$$
对 $\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$ 进行反拉普拉斯变换，我们得到：
$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{L^{-\mathrm{1}}}[\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}]\:\mathrm{=}\:\mathit{L^{-\mathrm{1}}}[\frac{1}{\mathrm{(\mathit{s}+\mathrm{3})}}]$$ $$\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^-{\mathrm{3}t}}$$
因此，函数的初始值为：
$$\mathit{x}\mathrm{(0)}\:\mathrm{=}\:[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]_{t=\mathrm{0}}$$ $$\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{(0)}\:\mathrm{=}\:[\mathit{e}^{-\mathrm{3}\mathit{t}}]_{t=\mathrm{0}}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^\mathrm{0}}\:\mathrm{=}\:\mathrm{1}$$
同样，根据初始值定理，我们得到：
$$\mathit{x}\mathrm{(0)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow \infty}\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow\infty}\mathit{s}[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{(\mathit{s}+\mathrm{3})}}]$$ $$\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{(0)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow\infty}[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{(1+\frac{3}{\mathit{s}})}}]\:\mathrm{=}\:\mathrm{1}$$
因此，对于给定函数，初始值定理得到验证。
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