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信号与系统 – 拉普拉斯变换的帕塞瓦尔定理


拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种数学工具,用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。

数学上,如果x(t)是时域函数,则其拉普拉斯变换定义为:

L[x(t)]=X(s)=x(t)estdt

拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换是从其拉普拉斯变换中获得时域函数的方法,其数学定义为:

L1[X(s)]=x(t)=12πj(σ+j)(σj)X(s)estds

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拉普拉斯变换的帕塞瓦尔定理

定理陈述 - 拉普拉斯变换的帕塞瓦尔定理或帕塞瓦尔关系指出,如果:

x1(t)LTX1(s)andx2(t)LTX2(s)

其中,x1(t)x2(t)是复函数。则:

x1(t)x2(t)dtLT12πj(σ+j)(σj)X1(s)X2(s)ds

证明

根据拉普拉斯逆变换的定义,我们有:

x1(t)=12πj(σ+j)(σj)X1(s)estds

取帕塞瓦尔定理的左边,我们得到:

LHS=x1(t)x2(t)dt=[12πj(σ+j)(σj)X1(s)estds]x2(t)dt

通过重新排列上述等式右边积分的顺序,我们得到:

x1(t)x2(t)dt=12πj(σ+j)(σj)X1(s)[x2(t)estdt]ds

x1(t)x2(t)dt=12πj(σ+j)(σj)X1(s)[x2(t)e(s)tdt]ds

\mathrm{\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{\mathrm{\left(\sigma -\mathit{j\infty} \right )}}^{\mathrm{\left (\mathit{\sigma \mathrm{+}\mathit{j}\infty}\right )}}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathrm{\left[\mathit{X_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( -\mathit{s}^{*}\right )}} \right ]^{*}\:\mathit{ds}}

因此,这就证明了拉普拉斯变换的帕塞瓦尔关系或定理。

更新于:2022年1月7日

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