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法学信号与系统 – 拉普拉斯变换的帕塞瓦尔定理
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。
数学上，如果x(t)是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：
L[x(t)]=X(s)=∫∞−∞x(t)e−stdt
拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换是从其拉普拉斯变换中获得时域函数的方法，其数学定义为：
L−1[X(s)]=x(t)=12πj∫(σ+j∞)(σ−j∞)X(s)estds
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拉普拉斯变换的帕塞瓦尔定理
定理陈述 - 拉普拉斯变换的帕塞瓦尔定理或帕塞瓦尔关系指出，如果：
x1(t)LT↔X1(s)andx2(t)LT↔X2(s)
其中，x1(t)和x2(t)是复函数。则：
∫∞−∞x1(t)x∗2(t)dtLT↔12πj∫(σ+j∞)(σ−j∞)X1(s)X∗2(−s∗)ds
证明
根据拉普拉斯逆变换的定义，我们有：
x1(t)=12πj∫(σ+j∞)(σ−j∞)X1(s)estds
取帕塞瓦尔定理的左边，我们得到：
LHS=∫∞−∞x1(t)x∗2(t)dt=∫∞−∞[12πj∫(σ+j∞)(σ−j∞)X1(s)estds]x∗2(t)dt
通过重新排列上述等式右边积分的顺序，我们得到：
∫∞−∞x1(t)x∗2(t)dt=12πj∫(σ+j∞)(σ−j∞)X1(s)[∫∞−∞x∗2(t)estdt]ds
⇒∫∞−∞x1(t)x∗2(t)dt=12πj∫(σ+j∞)(σ−j∞)X1(s)[∫∞−∞x2(t)e−(−s∗)tdt]∗ds
\mathrm{\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{\mathrm{\left(\sigma -\mathit{j\infty} \right )}}^{\mathrm{\left (\mathit{\sigma \mathrm{+}\mathit{j}\infty}\right )}}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathrm{\left[\mathit{X_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( -\mathit{s}^{*}\right )}} \right ]^{*}\:\mathit{ds}}
∴∫∞−∞x1(t)x∗2(t)dt=12πj∫(σ+j∞)(σ−j∞)X1(s)X2(−s∗)ds=RHS
因此，这就证明了拉普拉斯变换的帕塞瓦尔关系或定理。
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