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法学信号与系统 – 拉普拉斯变换的帕塞瓦尔定理
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。
数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-st}}\:\mathit{dt}}$$
拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换是从其拉普拉斯变换中获得时域函数的方法，其数学定义为：
$$\mathrm{\mathit{L}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{\mathrm{\left ( \sigma -\mathit{j\infty} \right )}}^{\mathrm{\left (\mathit{\sigma \mathrm{+}\mathit{j}\infty}\right )}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathit{e^{st}}\:\mathit{ds}}$$
拉普拉斯变换的帕塞瓦尔定理
定理陈述 - 拉普拉斯变换的帕塞瓦尔定理或帕塞瓦尔关系指出，如果：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{and}\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$
其中，$\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$和$\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是复函数。则：
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{\mathrm{\left(\sigma -\mathit{j\infty} \right )}}^{\mathrm{\left (\mathit{\sigma \mathrm{+}j\infty}\right )}}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left( -\mathit{s^{*}}\right)}\:\mathit{ds}}$$
证明
根据拉普拉斯逆变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{\mathrm{\left(\sigma -\mathit{j\infty} \right )}}^{\mathrm{\left (\mathit{\sigma \mathrm{+}\mathit{j}\infty}\right )}}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathit{e^{st}}\:\mathit{ds}}}$$
取帕塞瓦尔定理的左边，我们得到：
$$\mathrm{\mathrm{LHS}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{\left [ \frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{\mathrm{\left(\sigma -\mathit{j\infty} \right )}}^{\mathrm{\left (\mathit{\sigma \mathrm{+}\mathit{j}\infty}\right )}}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathit{e^{st}}\:\mathit{ds} \right ]}\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}}$$
通过重新排列上述等式右边积分的顺序，我们得到：
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{\mathrm{\left(\sigma -\mathit{j\infty} \right )}}^{\mathrm{\left (\mathit{\sigma \mathrm{+}\mathit{j}\infty}\right )}}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathrm{\left[\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{st}}\:\mathit{dt}\right]}\:\mathit{ds}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{\mathrm{\left(\sigma -\mathit{j\infty} \right )}}^{\mathrm{\left (\mathit{\sigma \mathrm{+}\mathit{j}\infty}\right )}}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathrm{\left[\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathrm{\left(-\mathit{s}^{*} \right )\mathit{t}}}}\:\mathit{dt}\right]}^{*}\:\mathit{ds}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{\mathrm{\left(\sigma -\mathit{j\infty} \right )}}^{\mathrm{\left (\mathit{\sigma \mathrm{+}\mathit{j}\infty}\right )}}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathrm{\left[\mathit{X_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( -\mathit{s}^{*}\right )}} \right ]^{*}\:\mathit{ds}}$$
$$\mathrm{\therefore \int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{\mathrm{\left(\sigma -\mathit{j\infty} \right )}}^{\mathrm{\left (\mathit{\sigma \mathrm{+}\mathit{j}\infty}\right )}}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathit{X_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( -\mathit{s}^{*}\right )}\:\mathit{ds}\:\mathrm{=}\:\mathrm{RHS}}}$$
因此，这就证明了拉普拉斯变换的帕塞瓦尔关系或定理。
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