数据结构
网络
关系数据库管理系统
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
时尚研究
法律研究信号与系统 – 周期信号的傅里叶变换
傅里叶级数只能用于分析周期信号，而傅里叶变换则可以用于分析周期和非周期函数。因此，傅里叶变换可用作分析整个区间内周期和非周期信号的通用数学工具。周期信号的傅里叶变换可以使用冲激函数的概念来求得。
现在，考虑一个周期为$\mathit{T}$的周期信号$\mathit{x\left(t\right )}$。那么，$\mathit{x\left(t\right )}$用指数傅里叶级数表示为：
$$\mathrm{\mathit{x\left(t\right)=\sum_{n=-\infty }^{\infty } C_{n}\:e^{jn\omega _{\mathrm{0}}t}}}$$
其中$\mathit{C_{n}}$为傅里叶系数，由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{C_{n}=\frac{\mathrm{1}}{T}\int_{-T/\mathrm{2}}^{T/\mathrm{2}}x\left(t\right)\:e^{-jn\omega _{\mathrm{0}}t}\:dt}}$$
因此，信号$\mathit{x\left(t\right )}$的傅里叶变换为：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x\left(t\right) \right ]=X\left(\omega\right)=F\left [ \sum_{n=-\infty }^{\infty }\:C_{n}\:e^{jn\omega _{\mathrm{0}}t} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left(\omega\right)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }\:C_{n}\:F\left [ e^{jn\omega _{\mathrm{0}}t} \right ]}}$$
利用傅里叶变换的频移特性$[\mathit{i.e.,e^{j\omega_{\mathrm{0}}t}\:x\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left(\omega -\omega_{\mathrm{0}}\right)}]$，得到：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ \mathrm{1}\:.e^{jn\omega _{\mathrm{0}}t} \right ]=\mathrm{2}\pi\delta\left(\omega -n\omega _{\mathrm{0}}\right)}}$$
因此，周期函数的傅里叶变换为：
$$\mathrm{\mathit{X\left(\omega\right)\mathrm{=}\mathrm{2}\pi\:\sum_{n=-\infty }^{\infty }\:C_{n}\:\delta\left(\omega -n\omega _{\mathrm{0}}\right)}}$$
因此，
周期函数的傅里叶变换由一系列等间距的冲激组成，这些冲激位于信号的谐波频率处。
每个冲激的面积或强度由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{冲激面积} = \mathrm{2}\pi C_{n}}}$$
12K+ 浏览量
