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法学信号与系统 – 离散时间傅里叶变换的性质
离散时间傅里叶变换
离散时间傅里叶变换是一种数学工具，用于将离散时间序列转换为频域。因此，离散时间信号或序列的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换 (DTFT)。
数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一个离散时间序列，则该序列的离散时间傅里叶变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j\omega n}}}$$
离散时间傅里叶变换的性质
下表列出了离散时间傅里叶变换的重要性质：
| 性质 | 离散时间序列 | DTFT |
|---|---|---|
| 符号 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$ |
| $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$ | |
| $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$ | |
| 线性性 | $\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{n}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$ |
| 时移性 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{e}^{\mathit{-j\omega k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$ |
| 频移性 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j\omega} _{\mathrm{0}}\mathit{n}}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega -\omega _{\mathrm{0}}}\right)}}$ |
| 时间反转 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{-n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{-\omega}\right)}}$ |
| 频域微分 | $\mathrm{\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{j}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$ |
| 时域卷积 | $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:*\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$ |
| 频域卷积（时域乘法） | $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:*\:\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}}$ |
| 相关性 | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathit{x}_{\mathrm{2}}}\mathrm{\left(\mathit{l}\right )}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{-\omega }\right)}}$ |
| 调制特性 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{cos}\mathit{\omega _{\mathrm{0}}\mathit{n}}}$ | $\mathrm{\frac{1}{2}\mathrm{\left[\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega \:\mathrm{+}\:}\omega _{\mathrm{0}}\right)}\:\mathrm{+}\: \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega \:\mathrm{-}\:}\omega _{\mathrm{0}}\right)} \right ]}}$ |
| 帕塞瓦尔定理 | $\mathrm{\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right|^{\mathrm{2}}}$ | $\mathrm{\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{d\omega}}$ |
| 共轭 | $\mathrm{\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{-\omega}\right)}}$ |
| $\mathrm{\mathrm{\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{-n}\right)}}}$ | $\mathrm{\mathrm{\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}}$ | |
| 对称性 | $\mathrm{\mathit{x}_{\mathit{R}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathit{e}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$ |
| $\mathrm{\mathit{j}\:\mathit{x}_{\mathit{I}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{0}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$ | |
| $\mathrm{\mathit{x}_{\mathit{e}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathit{R}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$ | |
| $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{0}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{j}\:\mathit{X}_{\mathit{I}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$ |
更新于：2022年1月11日
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