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法学离散时间傅里叶变换的时间卷积和频率卷积性质
离散时间傅里叶变换
离散时间序列的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换 (DTFT)。数学上，离散时间序列 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 的离散时间傅里叶变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x\left ( n \right ) \right ]=X\left ( \omega \right )=\sum_{n=-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )e^{-j\, \omega n}}}$$
DTFT 的时间卷积性质
陈述 – DTFT 的时间卷积性质指出，两个时域序列卷积的离散时间傅里叶变换等价于它们离散时间傅里叶变换的乘积。因此，如果
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\: \: \mathrm{and}\: \: x_{\mathrm{2}}\left ( n \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right )}}$$
那么，
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right )}}$$
证明
根据 DTFT 的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )e^{-j\, \omega n}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]e^{-j\, \omega n}}}$$
但是，两个序列的卷积定义为：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{k\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( k \right )\, x_{\mathrm{2}}\left ( n-k \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }\left [ \sum_{k\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( k \right )\, x_{\mathrm{2}}\left ( n-k \right ) \right ]e^{-j\, \omega n}}}$$
通过交换求和顺序，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{k\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( k \right )\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left ( n-k \right )e^{-j\, \omega n}}}$$
在第二个求和中代入 $\mathrm{\mathit{\left ( n-k \right )\mathrm{\, =\, }m}} $ 和 $\mathrm{\mathit{n\mathrm{\, =\, }\left ( m\mathrm{\, +\, }k \right )}}$，我们有：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{k\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( k \right )\sum_{m\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left ( m \right )e^{-j\, \omega \left ( m\mathrm{\, +\, }k \right )}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{k\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( k \right )e^{-j\, \omega k}\sum_{m\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left ( m \right )e^{-j\, \omega m}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\ast x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right )}}$$
因此，时域序列的卷积等于频域中它们频谱的乘积。
DTFT 的频率卷积性质
陈述 – DTFT 的频率卷积性质指出，两个时域序列乘积的离散时间傅里叶变换等价于它们频谱在频域的卷积。因此，如果
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\: \: \mathrm{and}\: \: x_{\mathrm{2}}\left ( n \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right )}}$$
那么，
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right ) x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_1(\theta)X_2(\omega-\theta)d\theta}}$$
证明
根据 DTFT 的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( \omega \right )\mathrm{=}\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )e^{-j\, \omega n}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right ) x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]e^{-j\, \omega n}}}$$
但是，根据 IDTFT 的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\pi }^{\pi }X_{\mathrm{1}}\left ( \theta \right )e^{j\, \theta n}d\theta }}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right ) x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }\left [ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\pi }^{\pi }X_{\mathrm{1}}\left ( \theta \right )e^{j\, \theta n}d\theta \right ]e^{-j\, \omega n }x_{\mathrm{2}}\left ( n \right )}}$$
现在，通过交换求和和积分的顺序，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right ) x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\pi }^{\pi }X_{\mathrm{1}}\left ( \theta \right ) \left [\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) e^{-j \left ( \omega-\theta \right ) n } \right ]d\theta }}$$
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{\, =\, } \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\pi }^{\pi }X_{\mathrm{1}}\left ( \theta \right )X_{\mathrm{2}} \left ( \omega-\theta \right ) d\theta }} $$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right ) x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\ast X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right ) }}$$
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