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法律研究信号与系统 – 离散时间傅里叶变换与Z变换之间的关系
离散时间傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换 (DTFT)。DTFT 将时域序列转换为频域信号。离散时间序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的 DTFT 为：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-j\omega n}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
Z变换
Z变换是一种数学方法，用于将时域中的差分方程转换为z域中的代数方程。数学上，离散时间序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z变换为：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
DTFT和Z变换之间的关系
由于离散时间序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的DTFT为：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$
为了使DTFT存在，序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$必须是绝对可和的，因此上述等式中的求和应收敛。
此外，序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z变换为：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(4)}$$
其中，z是一个复变量，由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathit{r\:e^{j\omega}}}$$
其中，*r*是圆的半径。因此，将z的值代入公式(4)，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{r\:e^{j\omega }}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathrm{\left(\mathit{r\:e^{j\omega}}\right)}^{-\mathit{n}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r}^{-\mathit{n}}\right]}\mathit{e^{-j\omega n}}\:\:\:\:\:\:...(5)}$$
为了使Z变换存在，
$$\mathrm{\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r^{\mathit{-n}}} \right|<\infty}$$
也就是说，求和应该收敛，或者$\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r}^{-\mathit{n}}\right]}$必须是绝对可积的。公式(5)表示信号$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r}^{-\mathit{n}}$的离散时间傅里叶变换。
因此，可以说离散时间序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z变换与$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r}^{-\mathit{n}}$的离散时间傅里叶变换(DTFT)相同，即：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r}^{-\mathit{n}} \right ]}}$$
同样，为了使离散时间傅里叶变换(DTFT)存在，离散时间序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$必须是绝对可积的，即：
$$\mathrm{\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right|<\infty}$$
因此，许多序列可能不存在DTFT，但可能存在Z变换。
此外，如果r = 1，则离散时间傅里叶变换(DTFT)与Z变换相同。换句话说，DTFT只不过是在z平面原点中心单位圆上计算的Z变换。
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