信号与系统 – 傅里叶变换的时移特性

对于连续时间函数 𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡) 的傅里叶变换可以定义为：

$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}\: dt}$$

傅里叶变换的时移特性

说明 – 傅里叶变换的时移特性指出，如果信号 𝑥(𝑡) 在时域中移动 𝑡₀，则频谱将被修改为具有斜率 (−𝜔𝑡₀) 的线性相移。因此，如果：

$$\mathrm{x\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( \omega \right )}$$

那么，根据傅里叶变换的时移特性：

$$\mathrm{x\left ( t -t_{0}\right )\overset{FT}{\leftrightarrow}e^{-j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right )}$$

证明

根据傅里叶变换的定义，我们有：

$$\mathrm{F\left [ x\left ( t \right ) \right ]= X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}\: dt}$$

$$\mathrm{\therefore F\left [ x\left ( t-t_{0} \right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }x\left (t -t_{0} \right )e^{-j\omega t}\: dt}$$

将 (𝑡 − 𝑡₀) 替换为 𝑢，则：

$$𝑡 = (𝑢 + 𝑡_{0}) 和 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢$$

因此

$$\mathrm{F\left [ x\left ( t -t_{0}\right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( u \right )e^{-j\omega \left ( u+t_{0} \right )}\: du}$$

$$\mathrm{\Rightarrow F\left [ x\left ( t -t_{0}\right ) \right ]=e^{-j\omega t_{0}}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( u \right )e^{-j\omega u}\: du=e^{-j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right )}$$

$$\mathrm{\therefore F\left [ x\left ( t -t_{0}\right ) \right ]=e^{-j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right )}$$

或者，它也可以表示为：

$$\mathrm{x\left ( t-t_{0} \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}e^{-j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right )}$$

同样地，

$$\mathrm{x\left ( t+t_{0} \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}e^{j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right )}$$

傅里叶变换的时移特性具有非常重要的意义。也就是说：

$$\mathrm{幅度,\left | e^{-j\omega t_{0}} X\left ( \omega \right )\right |=\left | X\left ( \omega \right ) \right |}$$

和：

$$\mathrm{相位,\angle e^{-j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right )=e^{-j\omega t_{0}}+\angle X\left ( \omega \right )=\angle \left ( -\omega t_{0} \right )+\angle X\left ( \omega \right )}$$

由此可见，函数在时域中移动 𝑡₀ 会导致其傅里叶变换乘以 𝑒^{−𝑗𝜔𝑡₀}。因此，幅度谱没有变化，但相位谱线性移动。

数值示例

使用傅里叶变换的时移特性，求信号 [𝑒^{−𝑎|𝑡−2|}] 的傅里叶变换。

解答

已知：

𝑥(𝑡) = 𝑒^{−𝑎|𝑡−2|}

由于双边指数信号的傅里叶变换定义为：

$$\mathrm{F\left [ e^{-a\left | t \right |} \right ]=\frac{2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$$

现在，使用时移特性 $\mathrm{ \left [i.e.\: x\left ( t-t_{0} \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}e^{-j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right ) \right ]}$ 进行傅里叶变换，我们有：

$$\mathrm{F\left [ e^{-a\left | t-2 \right |} \right ]=e^{-j2\omega}\left ( \frac{2a}{a^{2}+\omega ^{2}} \right )}$$

或者，它也可以写成：

$$\mathrm{e^{-a\left | t-2 \right |}\overset{FT}{\leftrightarrow} e^{-j2\omega}\left ( \frac{2a}{a^{2}+\omega ^{2}} \right )}$$

Manish Kumar Saini

更新于: 2021-12-14

22K+ 浏览量

开启你的 职业生涯

通过完成课程获得认证

立即开始