Z变换的时移特性

Z变换

Z变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为z域中的代数方程。数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是离散时间函数，则其Z变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]=X\left ( z \right )=\sum_{n=-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$

Z变换的时移特性

说明 – Z变换的时移特性指出，如果序列$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$在时域中移动n₀，则它在z域中导致乘以$\mathrm{\mathit{z^{-n_{\mathrm{0}}}}}$。因此，如果

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( z \right );\: \: \mathrm{ROC}\mathrm{\, =\, }\mathit{R} }}$$

在零初始条件下。

那么，根据时移特性，

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}z^{-n_{\mathrm{0}}}\, X\left ( z \right )}}$$

ROC = R，除了可能增加或删除𝑧 = 0或𝑧 = ∞

证明

根据Z变换的定义，我们有：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right )z^{-n}}}$$

在上述求和中用$\mathrm{\mathit{\left ( n-n_{\mathrm{0}}\right )=m }}$代替，则我们有：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{m\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( m \right )z^{-\left ( m\mathrm{\, +\, }n_{\mathrm{0}} \right )}}}$$

$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Z\left [ x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{-n_{\mathrm{0}}}\sum_{m\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( m \right )z^{-m}\mathrm{\, =\, }z^{-n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right ) }}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{-n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right )}}$$

同样，它可以表示为：

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}z^{-n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right )}}$$

类似地，如果信号在时间上提前，则根据时移特性，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n\mathrm{\, +\, }n_{\mathrm{0}} \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}z^{n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right )}}$$

此外，*如果忽略初始条件*，则

• 时间延迟的时移特性为：

  $$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{-n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right )\mathrm{\, +\, }z^{-n_{\mathrm{0}}}\sum_{p\mathrm{\, =\, }\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{0}}}x\left ( -p \right )z^{p}}}$$

• 时间提前的时移特性为：

  $$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n\mathrm{\, +\, }n_{\mathrm{0}} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right )-z^{n_{\mathrm{0}}}\sum_{p\mathrm{\, =\, }\mathrm{0}}^{n_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}}x\left ( p \right )z^{-p}}}$$

数值示例（1）

使用Z变换的时移特性，求序列的Z变换：

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }u\left ( n-\mathrm{3} \right ) }}$$

解答

给定的序列是：

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }u\left ( n-\mathrm{3} \right ) }}$$

由于单位阶跃序列的变换由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ u\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\frac{z}{z-\mathrm{1}};\: \: \mathrm{ROC}\to \left|z \right|>\mathrm{1}}}$$

因此，使用Z变换的时移特性$\mathrm{\mathit{\left [ \mathrm{i.e.,}\: x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}z^{-n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right ) \right ]}}$，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ u\left ( n-\mathrm{3} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{-\mathrm{3}}Z\left [ u\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{-\mathrm{3}}\left ( \frac{z}{z-\mathrm{1}} \right )}}$$

$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ u\left ( n-\mathrm{3} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\frac{\mathrm{1}}{z^{\mathrm{2}}\left ( z-\mathrm{1} \right )};\; \; \mathrm{ROC}\to \left|z \right|>\mathrm{1}}}$$

数值示例（2）

使用Z变换的时移特性，求以下序列的Z变换

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }\delta \left ( n\mathrm{\, +\, }\mathrm{5} \right )}}$$

解答

给定的序列是：

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }\delta \left ( n\mathrm{\, +\, }\mathrm{5} \right )}}$$

由于冲击序列的Z变换由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ \delta \left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\mathrm{1}}}$$

现在，使用Z变换的时移特性$\mathrm{\mathit{\left [ \mathrm{i.e.,}\: x\left ( n\mathrm{\, +\, }n_{\mathrm{0}} \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}z^{n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right ) \right ]}}$，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{Z\left [ \delta \left ( n\mathrm{\, +\, }\mathrm{5} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{\mathrm{5}}\left ( \mathrm{1} \right )\mathrm{\, =\, }z^{\mathrm{5}}}}$$

Saini Manish Kumar

更新于：2022年1月29日

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